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【知识点】GMAT数学知识点精华总结(二)

整除---- 分赃就要平均!

整除的定义  整除: 若整数“a” 除以大于0的整数“b”,商为整数,且余数为零。我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a,读作“b整除a”或“a能被b整除”.它与除尽既有区别又有联系.除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽(或说b能除尽a).因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零.除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了.它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况.


  注:a or b作除数的其一为0则不叫整除


  整除的一些性质为:


  (1)如果a与b都能被c整除,那么a+b与a-b也能被c整除.


  (2)如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除.


  (3)如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除.反过来也成立.


  有关整除的一些概念:


  整除有下列基本性质:


  ①若a|b,a|c,则a|b±c。


  ②若a|b,则对任意c,a|bc。


  ③对任意a,±1|a,±a|a。


  ④若a|b,b|a,则|a|=|b|。


  对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。


  若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数。当d≥0时,d是a,b公因数中最大者。若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。


整除的规律  整除规则第一条(1):任何数都能被1整除。


  整除规则第二条(2):个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。


  整除规则第三条(3):每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除。


  整除规则第四条(4):最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除。


  整除规则第五条(5):个位上是0或5的数都能被5整除。


  整除规则第六条(6):一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除。


  整除规则第七条(7):把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除。


  整除规则第八条(8):最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除。


  整除规则第九条(9):每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除。


整除规则第十条(10): 若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除




GMAT数学希望满分的请看


首先:数学满分不一定在于数学水平多高

其次:不一定在于会多少题,而在于能做对多少题


TRICK点:


1、度量单位不一样,每个数字指代的对象有差别,通常英制的会给出换算,但公制的如厘米,米不会给出换算。另外是时间的换算,今天考到一个类似三个管抽水和放水的题,给的条件是小时,问的是分钟,还有就是半径和直径不要弄错,注意一点:半径的周长=半圆+直径,而不只是半圆,本月JJ有一道这样的题。


2、PS题:是求比率,还是求数值要看清;比率的话要看问题是“谁和谁的比率”


3、关于打折是打掉的部分还是折后价要看清。


4、题目经常有隐含条件,如:integer, consecutive,different, nonzero等,任何一个条件都要看到。


5、DS题:不求解值,只看能否求出。DS题尤其注意,当准备选C的时候,一定看看B是否单独充分。


6、有时候计算不困难,但要看清楚问题,今天还考到一个,是三个人走的距离,一元一次方程,很容易,但要看清楚问题问的是哪个人走的,因为从列式子的角度来讲,都会设第一个为X,而最后问的是第三人走的距离。


7、关于零,正负号的问题一定不要漏掉,还有就是末位数字的1,5,6,这时一定要考虑零——CD网的管理员,你不想着他,ZEROS就让你得不了高分(这难道是天意?)


8、注意题目暗含的条件,这里会用到常识,为什么叫(problemsolving)其实GMAT已经把解题思路给你了。有些题单纯从数学角度来讲是一种解,但从解决生活问题来讲又会有解,比如人的分配,卖汽车,都不会有分数,有整数解就行。还有就是树的影子问题,这暗含的条件就是相似三角形。


9、关于整数条件的给出。和上面那条相反,这一类题千万不要自加条件。有时候要看清题是否提到了整数,如果没说整数,一定不要认为这就是整数,即使给你的条件也是整数。而且这种题往往容易考到中位数(MEDIAN)(本月机经中一道类似的,3/5/6/7/9/X,其实这题很善良了,用整数也能算出多个可能)


10、现在比取值范围大小的题很多,如果试数的话,一定考虑-1,0,1分开的这些区间,千万不要只考虑大于0和小于0,因为很多都是分数的比较。


最后作题注意:当你要按CONFIRM键之前,一定再看最后一眼,我不论是模考还是真考,每套题总有3个题左右,在看了最后一眼后把错误改了过来。(这是觉得这对50分和51分的区别有时是决定性作用)


目前想到这些,如有再加。祝大家考好!


关于GMAT数学中divide, divisible 美国大学教案的解释


if theremainder of dividing y by x is 0 then we can say:x divides y

y isdivisible by x

x is a factorof y

x is adivisor of y

y is amultiple of x

y isdivisible by x

他们都是 Y/X

在做数学的时候大伙可一定注意呀~


一元二次方程根的判别式的综合应用

之前做讨论稿的时候提到过下边这份资料,是以前弄百度知道团的时候找的,不是我原创的,不过个人感觉整理的还不错,发上来跟大家共享一下。


一、知识要点:  

   1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

  定理1  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ>0方程有两个不等实数根

  定理2  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=0方程有两个相等实数根

  定理3  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,Δ<0方程没有实数根

  2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。

  定理4  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根Δ>0

  定理5  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根Δ=0

  定理6  ax^2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根Δ<0

  注意:(1)再次强调:根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0

二.根的判别式有以下应用:

  
不解一元二次方程,判断根的情况。

  例1.
不解方程,判断下列方程的根的情况:

  (2)ax^2+bx=0(a≠0)

  解:

  (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,

  ∵Δ=(-b)2-4·a·

  ∵无论b取任何关数,b2均为非负数,

  ∴Δ≥0,  故方程有两个实数根。

  
根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。

  例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

  分析:由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;

  解:Δ=(-4)2-4·

  (1)∵方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ>0,即36-4k>0.解得k<

  (2)∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ=0,即36-4k=0.解得

  (3)∵方程有两个不相等的实数根,

  ∴Δ<0,即36-4k<0.解得

  
证明字母系数方程有实数根或无实数根。

  例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

  分析:先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。

  证明:  Δ=-4(m2+2)2

  ∵不论m取任何实数

  ∴-4(m2+2)2<0, 即Δ

  ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

  小结:由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:

(1)计算Δ

(2)用配方法将Δ恒等变形

(3)判断Δ的符号

(4)结论.其中难点是Δ的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:a2,a2+2,(a2+2)2,-a2, -(a2+2)2的代数式,从而判定正负,非负等情况。

  
应用根的判别式判断三角形的形状。

  例4.已知:a、b、c为ΔABC的三边,当m>0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

  (提示:答案为ΔABC为RtΔ)

  
判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式

  例5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是( )

  (2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是()

  分析:可以令二次三项等于0,若二次三项是完全平方式,则方程有两个相等的实数根。即Δ

  解:(1)

  ∵方程有两个相等的实数根,

  ∴Δ=k2-4×16×

  ∴k=+40或者

  (2)

  ∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=16-4k=0  ∴

  
可以判断抛物线与直线有无公共点

  例6:当m取什么值时,抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?

  解:列方程组消去y并整理得

  ,∵抛物线与直线只有一个交点,

  ∴Δ=0,即 4m+5=0      ∴

  说明:直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。

  
可以判断抛物线与x轴有几个交点

  分析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
(1)当y=0时,即有ax2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:

  
当时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。

  当时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是()。

  当 时,抛物线与x轴没有交点。

  例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数:

  (1)   (2)    (3)

  解:(1)Δ=16-12=4>0    ∴抛物线与x轴有两个交点。

  (2)Δ=36-36=0      ∴抛物线与x轴只有一个公共点。

  (3)Δ=4-16=-12<0   ∴抛物线与x轴无公共点。

  例8、已知抛物线

  (1)当m取什么值时,抛物线和x轴有两个公共点?

  (2)当m取什么值时,抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。

  (3)当[!--empirenews.page--]m取什么值时,抛物线和x轴没有公共点?

  解:令y=0,则   Δ=

  (1)∵抛物线与x轴有两个公共点, ∴Δ>0,即 – 4m+8>0       ∴

  (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点, ∴Δ=0,即 –4m+8=0    ∴

  当m=2时,方程可化为,解得x1=x2= -1,∴抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。

  (3)∵抛物线与x轴没有公共点, ∴Δ<0,即 -4m+8<0, ∴

  ∴当m>2时,抛物线与x轴没有公共点。

  
利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题

  分析:抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离,是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法:

  例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。

(参考:图象与x轴两个交点间的距离是3)

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