GMAT考试数学知识点——正弦定理讲解

caicainiao

△ABC从顶点拉出一条线垂直BC，给了∠B=60度, ∠A=45度，AB=5，问AC=?

bigpig

正弦定理

bigpig

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    　　Sine theorem
　　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
　　这一定理对于任意三角形ABC，都有
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　R为三角形外接圆半径

caicainiao

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    太感谢bigpig大哥了

myice

回复 3# bigpig


    不错不错，我再补充一下，正弦定理的证明和扩展

myice

正弦定理证明

　　步骤1.
　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
　　CH=a·sinB
　　CH=b·sinA
　　∴a·sinB=b·sinA
　　得到
　　a/sinA=b/sinB
　　同理，在△ABC中，
　　b/sinB=c/sinC
　　步骤2.
　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
　　作直径BD交⊙O于D.
　　连接DA.
　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
　　类似可证其余两个等式。

myice

正弦定理意义
　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

myice

扩展
　　一.三角形面积公式：
　　1.海伦公式:
　　设P=(a+b+c)/2
　　S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)
　　解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　而公式里的p为半周长：
　　p=(a+b+c)/2
　　2. S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径]
　　3.S△ABC=ah/2
　　二. 正弦定理的变形公式
　　(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
　　(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
　　（条件同上）
　　在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
　　(3)相关结论:
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
　　c/sinC＝c/sinD=BD=2R
　　⑷设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形
　　sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
　　asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

caicainiao

斑竹们太牛了，感谢加精，呵呵

VLee

不错不错，动作真迅速呀