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| 正态分布
（仅供没有学过概率论的同学参考，公式并不重要，只要知道曲线的形状就可以了，打★的结论请记一下，对付ETS足够了。）
高斯分布（Gaussian）（正态分布）的概率密度函数为一钟型曲线，即
a为均值， 为标准方差，曲线关于x=a的虚线对称， 决定了曲线的“胖瘦”，形状为：
图1
高斯型随机变量的概率分布函数，是将其密度函数取积分，即
（★） , 表示随机变量A的取值小于等于x的概率。比如A的取值小于等于均值a的概率是50%。曲线为
a
x
F(x)
1.0
50%
A
B
C
图2
如果前面看得有些头大也没有关系，结合具体题目就很容易理解了J
1）一道正态分布：95%〈26，75%〈20，85%〈r,问r与23的大小，答小于
解：
由图2，正态分布的分布函数F（x）在其期望a的右方曲线是向上凸的，此时
F（20）=75%，F（r）=85%，F（26）=95%，
A
B
OA
CA
如果把曲线的片段放大就比较清楚了。O为AB的中点。
A(20, 75%)
B(26, 95%)
O(23, 85%)
C(r, 85%)
由于曲线上凸，显然C的横坐标小于O，所以r<23。
补充：如果问的是曲线的左半部分或者其它一些情况，只要画一下图就很easy了。
2) 正态分布题好象是：有一组数平均值9，标准方差2，另一组数平均值3，标准方差1，问分别在（5，11）和（1，4）中个数谁大，应该是相等。
解：
令图1中的曲线a=0, , 就得到了标准正态分布，曲线如图3。
x1
x2
图3
此时问分布在区间（x1, x2）的概率，就是图中的阴影面积。注意此时的曲线关于x=0对称。
（★）对于一般的正态分布，可以通过变换，归一化到标准的正态分布，算法为：
设原正态分布的期望为a，标准方差为 ,欲求分布在区间（y1, y2）的概率，可以变换为求图3中分布在（x1, x2）间的概率。其中
。
比如题目中a=9， , 区间为（5, 11），则区间归一化为(－2，1)，即
同理，a=3， , 区间为（1, 4），则区间归一化后也为(－2，1)。
所以两者的分布概率相等。
估计最难的题也就是利用钟型曲线的对称性，比如归一化后的区间并不相同，
而是(-2,1)和（-1,2），但根据对称性，仍然可以比较概率的大小。 |
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