请教一道PRINCETAON的题目

stevenlou

Two couples and one single person are seated at random in a row of five chairs. What is the probability that neither of the couples sits together in adjacent chairs?
  A. 1/5
  B. 1/4
  C. 3/8
  D. 2/5
  E. 1/2

Answer is : E
Could any one help to explain how to crack this question? Thanks a lot!

 

BruceNornia

这写个简单的算法吧，上面的算法虽然常规但是非常繁复

 

首先考虑如果没有那个单身汉C 剩下的两对情侣坐下之后仍然不相邻的情况，

自然在没有C的时候，这种坐法只能是两对情侣穿插着坐，即AaBb这种情况

这种情况中A与a对称 B与b对称 并且Aa与Bb也对称，从而这种坐法一共有 2*2*2 = 8种

这时候无论把C安插在上述排列的什么位置，排列都满足情侣不相邻所以一共有 5*8 =40种

 

其次考虑如果没有C 剩下的情侣坐下后只有一对相邻的情况

这样的坐法只能是一对情侣在另一对之间，即便ABba，同上面分析，共有8种

如果安插C后 要保证排列中情侣不相邻，则C必须在中间那对情侣之间，所以有1*8=8种

 

共8+40=48种 概率为48/120 = 2/5

BruceNornia

难得碰到一个有意思的题目

 

所以写了个小程序算了算：） btw 我这边没端午 连个粽子都没有 

stream

QUOTE:

以下是引用BruceNornia在2009-5-29 21:58:00的发言：

我把所有的排列列了一遍

A a 为A情侣 B b 为B情侣 C单身

红色为情侣不坐在一起的，黑色为至少有一对在一起的

红色的一共48种 总数120种 概率为48/120 = 2/5

 

The correct answer is D

 

AaBbC AaBCb AabBC AabCB AaCBb AaCbB   0
ABabC ABaCb ABbaC ABbCa ABCab ABCba   4
AbBaC AbBCa AbaBC AbaCB AbCaB AbCBa   4
ACaBb ACabB ACBab ACBba ACbaB ACbBa   2

aABbC aABCb aAbBC aAbCB aACBb aACbB   0
aBAbC aBACb aBbAC aBbCA aBCAb aBCbA   4
abBAC abBCA abABC abACB abCAB abCBA   4
aCABb aCAbB aCBAb aCBbA aCbAB aCbBA   2

BAabC BAaCb BAbaC BAbCa BACab BACba   4
BaAbC BaACb BabAC BabCA BaCAb BaCbA   4
BbaAC BbaCA BbAaC BbACa BbCAa BbCaA   0
BCAab BCAba BCaAb BCabA BCbAa BCbaA   2

bAaBC bAaCB bABaC bABCa bACaB bACBa   4
baABC baACB baBAC baBCA baCAB baCBA   4
bBaAC bBaCA bBAaC bBACa bBCAa bBCaA   0
bCAaB bCABa bCaAB bCaBA bCBAa bCBaA   2

CAaBb CAabB CABab CABba CAbaB CAbBa   2
CaABb CaAbB CaBAb CaBbA CabAB CabBA   2
CBaAb CBabA CBAab CBAba CBbAa CBbaA   2
CbAaB CbABa CbaAB CbaBA CbBAa CbBaA   2

Bruce斑竹太热心了！！非常之感谢！

端午快乐！

BruceNornia

我把所有的排列列了一遍

A a 为A情侣 B b 为B情侣 C单身

红色为情侣不坐在一起的，黑色为至少有一对在一起的

红色的一共48种 总数120种 概率为48/120 = 2/5

 

The correct answer is D

 

AaBbC AaBCb AabBC AabCB AaCBb AaCbB   0
ABabC ABaCb ABbaC ABbCa ABCab ABCba   4
AbBaC AbBCa AbaBC AbaCB AbCaB AbCBa   4
ACaBb ACabB ACBab ACBba ACbaB ACbBa   2

aABbC aABCb aAbBC aAbCB aACBb aACbB   0
aBAbC aBACb aBbAC aBbCA aBCAb aBCbA   4
abBAC abBCA abABC abACB abCAB abCBA   4
aCABb aCAbB aCBAb aCBbA aCbAB aCbBA   2

BAabC BAaCb BAbaC BAbCa BACab BACba   4
BaAbC BaACb BabAC BabCA BaCAb BaCbA   4
BbaAC BbaCA BbAaC BbACa BbCAa BbCaA   0
BCAab BCAba BCaAb BCabA BCbAa BCbaA   2

bAaBC bAaCB bABaC bABCa bACaB bACBa   4
baABC baACB baBAC baBCA baCAB baCBA   4
bBaAC bBaCA bBAaC bBACa bBCAa bBCaA   0
bCAaB bCABa bCaAB bCaBA bCBAa bCBaA   2

CAaBb CAabB CABab CABba CAbaB CAbBa   2
CaABb CaAbB CaBAb CaBbA CabAB CabBA   2
CBaAb CBabA CBAab CBAba CBbAa CBbaA   2
CbAaB CbABa CbaAB CbaBA CbBAa CbBaA   2

BruceNornia

这道题算是比较麻烦的

 

题目的意思是这样的: 两对情侣和一个光棍随机的坐在一排的5个座位上.那么任意一对情侣都不坐在相邻的座位的概率为多少?

 

这道题目是一道概率统计题目,这一类概率统计属于概率论中的古典概率.

 

如果以5个人任意一种座位排列方式为样本构成样本空间, 那么该样本空间中每一个样本发生的概率都是相同的(根据题目描述)

并且该样本空间中的样本数量为 5的全排列 即 5! = 120 , 进而可以得到样本空间中美一个样本发生的概率均为1/120

换句话说,这5个人以任一给定排列坐在5个座位上的概率均为 1/120, 并且该概率不随给定排列不同而改变.

 

那么 "任意一对情侣都不坐在相邻的座位"可以描述为样本空间中的一个事件

该事件对应了 样本空间中的一个特定的样本集合, 该集合中每一个样本所对应的那种排列都满足任意一对情侣都不坐在相邻的座位.

由于我们已经知道了任意样本对应的概率 1/120, 所以现在需要求的是该集合众的样本数量.

 

直接求 "任意一对情侣都不坐在相邻的座位" 的排列的数量不容易求

我们转而却上述集合的非 即便"至少有一对情侣坐在相邻的座位上"的排列的数量

 "至少有一对情侣坐在相邻的座位上"包括两个互不包含的子集: "仅有一对情侣坐在相邻的座位上" 以及 "两对情侣均坐在相邻的座位上"

 

对于 "仅有一对情侣坐在相邻的座位上" 这种情况 即"一对情侣相邻而坐 但另一对情侣不相邻"

我们不妨假设5个人中 包括A1 A2 B1 B2 C 其中A1 A2为情侣 B1 B2为情侣 C为光棍

 

如果A情侣邻座，则将A情侣看作一个整体 则A情侣座位一个整体和B1 B2 C 的排列为 4！= 24

而考虑到A1 A2座位可以交换，所以A情侣相邻而坐的数量为：2 * 24 = 48

上述考虑中存在B情侣邻座的情况，所以上述计算中还需要扣除B1 B2邻座的情况 这里需要将AB均看作整体 即A B C排列 数量3！= 6

考虑到B1 B2座位可交换 A1 A2座位可交换，则A1 A2邻座而B1 B2也邻座的数量为 2*2*6 = 24

从而仅 A情侣邻座的排列数量为 48 - 24 = 24

 

同理 如果仅B情侣邻座 则同样可得到B情侣邻座排列数量为 24

 

对于"两对情侣均坐在相邻的座位上"

将AB均看作整体 即A B C排列 数量3！= 6

考虑到B1 B2座位可交换 A1 A2座位可交换，则A1 A2邻座而B1 B2也邻座的数量为 2*2*6 = 24

 

总数量为 24 + 24 + 24 = 72

概率为(120 - 72) / 120 =2/5

 

?????汗 竟然跟答案不一样

 

我再算算