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1.有一数列,1,1,2,3,5,8.....每后一项是前两项的和,问第300项值是多少?
2.N是整数,问N值多少?(E)
1)N被3除余2
2)N^2被3除余2
如果a1 = 1, a2 = 1, 且an+2 = an+1 + an (n=1,2,…)， 试写出这个数列的前6项。
这个数列的前6项依次是 1,1,2,3,5,8.
实际上，我们在解一阶递推方程an+1 = pan + q时已学会将它改写成
an+1 + c = p（an + c）
的形式，仿照这一思路，二阶递推方程
an+2 = an+1 + an
也可改写为
an+2 - pan+1 = q(an+1 - pan)
的形式，这里的p与q由“特征方程”x2 = x + 1 确定，于是解得
p = (1-√5)/2 ，q = (1+√5)/2 或
p = (1+√5)/2 ，q = (1-√5)/2 .5)/2
选第一组p,q值，得
an+2 - (1-√5)/2 ·an+1 = (1+√5)/2·(an+1 - (1-√5)/2·an)
很明显，an+1 - (1-√5)/2·an 是以a2 - (1-√5)/2·a1为首项，(1+√5)/2为公比的等比数列，于是
an+1 - (1-√5)/2·an ＝ [(1+√5)/2]n ①
这样一来，二阶方程已经化成了一阶。
选了第二组p,q值，得
an+2 - (1+√5)/2 ·an+1 = (1-√5)/2·(an+1 - (1+√5)/2·an)
由此得到的是
an+1 - (1+√5)/2·an ＝ [(1-√5)/2]n ②
显然①式与②式所表达的是an+1与an之间的不同关系，哪个才是正确的？老师说都对。我想，既然如此，把①式与②式联立，不就解出an了吗？
得出的通项公式果然很“难看”：
an ＝ {[(1+√5)/2]n -[(1-√5)/2]n}／√5
经过这番探求，我的好奇心得到了满足。这么一个带有根号的繁琐的式子，代入化简后居然展现出一个令人赏心悦目、完全由自然数组成的数列。
如此变态的题目都出来 考奥数吗? 变态的ETS! | 
