prep上一道题不会 求大虾帮助

piacia

h(n)=2*4*6*8.......*n, p is the smallest prime factor of h(100)+1, then p is
A.between 2 and 10
B.between 10 and 20
C.between 20 and 30
D.between 30 and 40
E.greater than 40
答案是E why？

James

答案选E.
首先由题知，h(n)=2x4x6x8x......xn
将n=100代入h(n)得，h(100)=2x4x6x8x......x98x100
然后可以将每一项变形，比如2变成1x2，4变成2x2，6变成3x2，8变成4x2，由此可得
h(100)=1x2x2x2x3x2x4x2x...48x2x49x2x50x2
再变形得h(100)=2^50x50! ∴h(100)+1=2^50x50!+1
h(100)=2^50x50!可以被任何大于等于2小于等于50的integer整除。
∴h(100)+1=2^50x50!+1被任何大于等于2小于等于50的integer n除，结果必是一个整数加上(1/n)的形式，也就是h(100)+1无法被between 2 and 50的任何整数整除。所以就只能选答案E了。

xiaochangshni

因为如果小于40的prime，总能在h(100)中找到的它的倍数把它约掉，这样这个prime肯定就不是h(100)+1的factor了，所以一定要找大于40的prime才可能成为h(100)+1的factor