[求助]费费数学－第七部分-82

xiongxiong88

82、X=K^4，K是正整数，X被32除后余数是0。问K被32除，余数可能是：
(1)2 (2)4 (3)6

Answer: (2)

以下是解释的部分，但我看不懂，哪位NN指点一下？

X=K^4=32A=2^4 * 2A

因为K是正整数>>>2A最小为16>>>K^4=2^4*2^4m 其中m>=1

>>>K/32=2^(m+1) , m>=1>>>余数为4,8,16…

daoying

红色部分可能有误，这样理解：

X=K^4=32A=2^4 * 2A

因为K是正整数>>>2A最小为16>>>K^4=2^4*2^4m 其中m>=1

所以有K＝4*m^(1/4),

由于K是正整数，且m>=1，

所以K=4*1,4*2,4*3,......

即K＝4，8，12，......

所以K/32的余数是4，8，12等。

注意：当K＝12时，X＝12×12×12×12，此时X/32=3×3×6×12为整除，无余数，所以K＝12是满足题意的。因此m>=1>>>余数为4,8,16…这句话是错误的。

最好的方法是直接试值，满足条件的最小K=4.

请指正！

xiongxiong88

X=K^4=32A=2^4 * 2A

因为K是正整数>>>2A最小为16>>>K^4=2^4*2^4m 其中m>=1

所以有K＝4*m^(1/4),

资质愚钝，这两步（红色部分）还是推不出来：

我是这样做的

K^4=2^4*2^4m 其中m>=1

根据公式：X^m*X^n=X^(m+n)

所以K^4=2^(4+4m) (1)式

再根据公式：X的m次方开n次方根=X^(m/n)

所以(1)式的等号两边同时开4次方等于：K^(4/4)=2^[(4+4m)/4]

有K=2^(1+m)

但其实这样和答案是不符的，我的推导哪里错了？请指正！

xiaoyue

我是这样做的

K^4=2^4*2^4m 其中m>=1

根据公式：X^m*X^n=X^(m+n)

所以K^4=2^(4+4m) (1)式

你的错误在于：K^4=2^4*2^4m的意思理解错误

事实上，K^4=2^4*2^4m的意思是K^4=（2^4）×（2^4）×m，

而不是K^4=（2^4）×[2^(4m)],

所以后面的推导就不正确了。

其实这题我不是这样做的。我是用正如我说的直接试值法做的。

如果一定要用数学推导，我的推导如下：

由题意：

设X=32A，其中A属于正整数。

则K^4=32A

所以K＝(32A)^(1/4)=(16×2A) ^(1/4)＝16^(1/4)×(2A) ^(1/4)＝2×(2A) ^(1/4)

设 (2A) ^(1/4)＝b

则K＝2b

由于K,X都为正整数，且K不等于1

所以b必为正整数。

则2A=b^4

由于K,X,A,b都是正整数

所以 b＝2，4，6，8，10……即偶数（奇数时，A不是整数）

因此K=2b=4，8，12，16，20……

原推导中“因为K是正整数>>>2A最小为16>>>K^4=2^4*2^4m 其中m>=1”也就是2A＝16m的推导不够严谨。

xiongxiong88

谢谢！说得非常清楚啊！！

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