2月题库更新后的math 机经答案题 18号更新

myice

 

1.       (DS) [d]代表最接近大于d和等于d的整数，求[2d]是否等于0

1 [d]=0

2 [3d]=0

ià -1< d <=0  à -2 <2d < =0 à[2d] 不确定

iià -1 < 3d <= 0 à -2/3 <2d < =0 à [2d] =0

我选了B

2.       (DS) x小于y？

1）              x+y小于y

 2）x-y大于x

ià x <0

iià y <0           我选E

可能的机经变体：如果条件 ii变成 x-y <x,那么就可以推出 y>0，这种情况下就选C

3.       (PS)  a=2^2n, b=2^n，问a^2i/[b^(2i-1)-b2i]

Unknown  机经主人说2/3，但是好像做不出来

5. (PS) 3^50除以4余几

解： 首先枚举一下：3 除 4 余 3； 3^2 除 4 余 1；3^3 除 4 余 3 ； 3^4 除 4 余 1…… 然后得出规律，3^odd 除 4 余 3， 3^even 除4 余 1

严格证明：当 x 除四余3 -à x=4k +3  à 3x =12k +9 à 3x 除4余1

当  x 除四余1à x=4k+1 à 3x=12k+3 à3x除4余1

  答案是余1

6. (DS)  x=y?

i: x^2+y^2 = 2xy

ii: x^2+y^2 = 0

答案：D

         i è (x-y)^2=0 à x=y

         ii à x^2 >=0 y^2>=0, to make x^2+y^2=0 à x=y =0

7.       (DS)  median < average?

i. 不记得了

ii. 55% of numbers < average.

答案：B

ii: 把所有数字从小到大排序，已知前55%的数字都小于 average（设为x）。median处于50%的位置，所以必然小于x

8.       *3(PS) 外汇兑换问题：

1dollar=0.8Euro    换钱后银行要收取4%手续费。换成了$1865，问用多少euro换成的?

解：美金1865元=美金的本金+ 4%手续费

设美元本金为A，

则1865=1.04A，因此A=1865/1.04，

因为1美金=0.8欧元，所以（1865/1.04）美元×０.８＝题目里问的欧元数＝＝１４３４

   

9.       (PS) 求两正方形相交面积问题

 

 

         机经主人说：“不记得了，但是2个条件都是说不同线段的长度”

“加辅助线，成两个直角三角形。”

连接I和J，那么就是两个直接 IFJ 和EDJ，两个直角三角形的面积之和就是所求的

 

10.       (PS)  3的x次方-3的（x-3）次方等于2106。x=?

解：3^x-3^(x-3)=2106

à(3^3-1)3^(x-3)=2106

à26*3^(x-3)=2106

à3^(x-3)=81

àx=7

bigpig

lz辛苦了

stream

谢谢斑斑的分享！！！

myice真伟大！！！！！！！！！！！！！！

myice

 

7.       (PS)  f(x)=根号下(x-1)/x+1,问f(x)可以代表哪个实数集，

Solution: greater or equal to 1.

1.分母不能為0àX>-1

2.X=0,分子為根號 -1à不是實數

题目不是很清楚。总的来说，给定一个函数f(x)，我们可以根据根号内大于等于0和分母不等于0确定定义域（也就是x的取值范围）；然后适当化简一下f(x)，根据定义域决定值域（也就是f(x)的取值范围）。

 

如果f(x)=sqrt(x-1)/x+1

àx >= 1 (因为根号内必须是 >=0的)

à0<f(x) <3/2 （我求f(x)的倒数，得出f(x)在(1,2)区间递增，(2,无穷大)区间递减；可以确定f(x)的值域，但是肯定有其他方法）

如果f(x)=sqrt[(x-1)/x]+1

àf(x) =sqrt[1-1/x]+1

à x>=1 or x<0

à当x>=1  à1<=f(x) <2 因为根号是>=0的，而且x=1的时候等号成立,x趋向正无穷大的时候f(x) 趋向2

à当x<0 àf(x) >2

这种情况下，f(x)是大于等于1，（但是我觉得不包含2）

如果f(x)=sqrt[(x-1)/x+1]

         à x<0 或者 x >=1/2

         à f(x)=sqrt[2-1/x]，这个是对x的增函数

         à f(x) >=0 （但是我觉得f(x)不能=sqrt(2)）

 

8.       (PS) 利息问题： 1000块存银行，８％的利息存semiannully存一年和多少的利息整annully存一年所得到的总钱数一样，选８．１６％

解：(1+4%)^2=(1+x)

àx=8.16%  

9.       (PS) n 是整数，n^2的factor数目是什么    

A even   

B odd

C prime                         Answer: B

[Prove] 代数法：

       如果n为质数，n有1，n两个因子；n^2有1，n,n^2 三个因子

           如果n为合数，假设n=6=2x3, n的因子是1,2,3,6四个，而n^2=36的因子有1,2,3,4,6,9,12,18,36 九个，也是奇数个

           猜想答案为奇数个

严格证明：

假设n可以分解成质因子乘积的形式

           n=p1^e1*p2^e2*……*pi^ei     -------------------- (1)

上面的式子的意思是说，n的质因子是p1,p2,….,pi，而e1,e2,…,ei表示每个质因子在n中有多少个，举例子说

n=36  n=2^2*3^2

n=130 n=2*5*13=2^1*5^1*13^1

由（1）式可知，n的因子的个数是

           n = (e1+1)*(e2+1)*…*(ei+1)

同样道理，我们可以把n^2写成

           n^2= p1^2e1*p2^2e2*……*pi^2ei  -------------------- (2)

也就是说每个质因子的指数由原来的e变成了2e（偶数出来了）

那么，n^2的因子的个数就是

           n = (2e1+1)*(2e2+1)*…*(2ei+1)

上式每一项都是奇数，他们的乘积也就是奇数

10.    (PS) 一道路程，跑步的10mile/hr,走路的6mile/hr, 跑步的超过走路的10分钟后到达喷泉，走路的还要多久到？

Solution：从跑步的超过走路的人的瞬间开始计时，10分钟（1/6小时）之后

跑步的跑了  10/6 miles

走路的走了 6/6 mile

  他们俩相距 10/6-6/6=2/3 mile (这也是在这个时刻，走路的人和喷泉之间的距离)，所以走路的还要走

(2/3)/(6)=1/9 (小时)=6.67分钟

11.    *3(DS)

V1园内嵌小正方形，外嵌大正方形，问半径至少>4

i 小正边长大于2

ii  大正边长大于4

解：图就不画了，相对比较简单的图

i园的内接正方形的对角线=园的直径 ；边长x >2

à 半径=直径/2=x*sqrt(2)/2>1.414

à不能确定是否大于4

ii 园的外切正方形的边长=园的直径；变长 y>4

à 半径 =y/2 >2

à也不能确定是否大于4

答案： E                  如果是问半径是否大于2的话，就是选 B

V2 (DS) 大正方里面inscribe圆形，圆形里面inscribe小正方，问圆边长大于10吗？
    （1）小正方的边长大于2 
    （2）大正方的边长大于4
   应该是B，55

 

12.    (PS)  2^51的factors 与2^n3^3的相同，求n

Solution：按照15题中的推理，可知 2^51一共有51+1=52个因子

         与此同时，2^n*3^3 一共有 (n+1)(3+1)个因子

         列出方程：

         52=(n+1)*4à n=12

Remember: 2^n的factor會有 n+1個

 

13.    *2(PS）一个大正三角形被里面一个倒立的小正三角形平均分成4部分，给出一个边长，求小三角形面积（有图），小三角形邊長均為4。

Solution：一个正三角形，假设边长为x，其面积为x^2*sqrt(3)/4

         那么里面那个小正三角形的面积，就是x^2*sqrt(3)/16

Answer:12sqrt(3)

14.    （PS）一个环岛周围包了一圈外沿，给出圆的直径和外沿的宽，求外沿的面积。（有图）

解：已知小圆直径D和外沿的宽s

外沿面积=大圆面积- 小圆面积

         大圆半径=D/2

         小圆半径=D/2+s

15.    (DS) 一个医院男婴60%，其中10%体重超过3.5磅，问女婴体重少于3.5磅的比例

i．  总共超出3.5的有40（数字不准）

ii． 总共有8%的超过3.5

Answer： B

Solution:应该是求女婴体重少于3.5的人数占所有婴儿的比例

题目已知 à体重超过3.5的男婴占全体婴儿的60%*10%=6%

ià 在这40个婴儿之中，无法知道多少是男孩，多少是女孩

iià 结合题目已知，女婴中体重大于3.5的占全体婴儿的8%-6%=2%

à 女婴一共占 40%

à 体重<3.5的则为40%-2%=38%

(可能改成PS题)

 

16.    （PS）Of the sample, 2*10^23 atoms are radioactive and the rest are not. If 0.2 atoms of sample are radioactive, how many atoms are not radioactive?

解：由已知可得20%的原子有放射性；80%的原子没有放射性

同时知道放射性的原子有2*10^23个，则没有放射性的原子是4*2*10^23=8*10^23个

myice

 

16.       （PS）X, Y are positive integers, X@Y=XY/(X+Y). If A, B, C are positive integers, what is the result for 1/A@(1/B@ 1/C):

解：1/B@1/C= [1/(BC)]/[1/B+1/C] =1/(B+C)

1/A@(1/B@1/C) = 1/A @(1/(B+C))={1/[A*(B+C)]}/[1/A+1/(B+C)]=1/(A+B+C)

17.       (PS) ask about the area of one shaded shape (quadrilateral) in coordinate. One convex is the O, one (0,2), one (2,3), the last one (4,0).

 

   解：做两条辅助线

L1: 从(0,2)到（2,2)

L2: 从(2,0) 到 (2,3)

       那么四边形被分为一个正方形（边长2）和两个直角三角形

       面积= 2×2 + 2×1/2+2×3/2=8

 

18.       (PS) If 4 can be arranged into four cases with two or more Xiang, such as 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, and 2+2, how about 5?

解：题目的意思好像说是，自然数4可以分拆成四种形式：

4 =1+1+1+1

4 = 1+1+2

4 = 1+3

4 = 2+2

这种分拆使用的是加法，同时至少是两个自然数相加。问：5可有多少中拆分方式

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+1+3

5=1+4

5=2+3

5=2+2+1

        一共6种

 

19.       (DS) x/y>0?:

i x-y^2>0,

ii: y/x<0

解：

ià x > y^2 >=0 à 不能确定y的正负性，甚至y可以等于0，所以不能够确定

iià y <>0 同时x,y异号àx/y < 0

答案：B

    

20.       *4(PS) 12 members, what is probability choose 6 members as a team to choose 5 members as a team?

解：我觉得题目有一些问题，我猜意思可能是说，12个人里面选6个人组成一组的选法和12个人里面选5个人促成一组的选法的比例

C(12,6)/C(12,5)=7/6

 

21.    PM=x, MN=x-2, NQ=2x+4 ,PL=x-1,LN=x+1,NS=x-2,SQ=x+5( see picture)  

One guy drives the car from P to Q ( no repeat any line), ask  can not be value of from P to Q

A: 4x+1

B: 4x+2

C: 4x+3

D: 4x+5

E: 4x

Answer: E

Solution: PMNQ=4x+2 ,PMNSQ=4x+1 ,PLNQ=4x+5,PLNSQ=4x+3

 

22.    *3(PS) 先说了很长一段话实际上就是说钞票的厚度与面值无关。然后切入正题，一叠20元面值的钞票有1，000，000张，总厚度为13feet11inch, 问另一叠6，000，000，000的100元面值的钞票总厚度。

解：1M 张 13 feet 11inches

6000M张

13×6000=78000 feet

11*6000/12=5500 feet

78000+5500=83500 feet

1         foot =  12 inches

1          mile =  5280 feet

 

23.    (PS) 60% of employee has CPA, 40% of employee has CPA are male; and 80% of employee are Male, Ask what is percentage for fmale has CPA?

解： 60%-40%=20%

myice

 

24.       *3  (PS) Total 100 students;  33 students speak Spanish ; 25 students speak English ; 22 students speak French ; 11 students speak both Spanish & English; 17 students both speak Spanish & French; 12 students both speak English & French; 9 students speak 3 languages. How many students did not speak 3 languages?

解：100-33-25-22+11+17+12-9=51

 

25.       计算:8^88/88^8.

88^8 =(8^8)*(11^8)

8^88 = (8^8)^11

8^88/88^8=8^80/11^8=2^240/11^8

 

26.       (DS)  (X^2-X-2)(Y^2-Y-2)=?    

1) X=2;

2) 忘了 反正不对. 

解：(X^2-X-2)(Y^2-Y-2)=(x-2)(x+1)(y-2)(y+1)

ià (X^2-X-2)(Y^2-Y-2)=(x-2)(x+1)(y-2)(y+1)=0

答案：A

 

27.    (PS)一个长方形的XX,周围一圈阴影,知道长和宽和阴影部分的宽,求阴影不分的面积.(本月好象有一道类似的圆行的那道)

解：大长方形面积-小长方形面积

设小长方形长和宽分别为x,y，阴影部分宽z

小长方形面积= xy

大长方形面积=(x+2z)(y+2z)

28.    以一个半圆的直径为边画一个直角三角形,顶点在圆弧上,半径为2,求三角形的面积.

Solution= 2*2^3*1/2=2^3

 

29.    ：（ＤＳ）一个数列有５个数，问中数是否等于平均数？

1）  ５个数是连续的；2）中数是７　　

解：ià     let these 5 numbers to be n-2,n-1,n,n+1,n+2à average is n and median is n àok

         iiàunknown

         答案：A

30.    从港口到小岛路程400M,一艘轮船去的时候顺风时速350M/H,回来时逆风250M/H;问平均速度.

解：800/［(400/350)+(400/250)］=291.67M/H

31.    1/X+1/Y=1/Z,用X表示YZ

解：1/x=1/z-1/y=(y-z)/(yz)àx=yz/(y-z)

myice

 

32.       F(X)=X-1/X  问F(1/X)=?   

解：F(1/x)=1/x-1/(1/x)=1/x-x

33.       (DS)一条线段上有4个距离相等的点a b c d, 问可否求出a+c阿或者b+c之类的
I. a+b=-8
II.a+d=0

解：a,b,c,d都在数轴上，且等距离à线段a,d被b,c两点等分

        ià 不能够确定

        iià0点a,d两点的正中央àb+c=0

        i+ii à 设a,b之间的距离为x，那么a=-3x/2, b=-x/2,c=x/2,d=3x/2àx=4àa+c=-4

答案：C

 

34.       (DS)一个正方形里面一个圆（不相接，圆在正中心），正方形四个角上画四个大小一样的矩形，这四个矩形的顶角正好与圆碰到。矩形一边为2（图上显示为横着的那边），对角线为w,y是竖着的那边中间一段（即去掉上下矩形的中间一截），问可否求出圆之类的面积。（有图不难）
I.  w=2根号5
II. y=4

解：由题目可以得出，矩形的的长宽分别为2和sqrt(w^2-4)，

        正方形的边长为 2+y+sqrt(w^2-4)

myice

 

答案：我和朋友商量了一下，看图形怎么画的，如果矩形长是正好1/2边长，那么就是D，如果是任意的情况（确定长方形、正方形，然后让圆从中心开始一点点扩大，直到touch每个矩形的顶点），那么就选择C

 

35.       (PS) 3个数组成的密码，其中两个是从4个字母里面选出来的，另外一个是1或者2，两个字母可以重复，但必须紧靠一起（即可以是1aa,ab2,但不可以是a1a）,问多少组合？

解：如果密码是：Number,Char,Char 一共有2×4×4=32种

    如果密码是：Char,Char Number 一共有4×4×2=32种
答：64

36.       *2一个人有红色的球，一个人有蓝色的球，红色球的数量是蓝色球的90%，红色球的总重量是蓝色球的117%，问红色球的单个的重量是蓝色球的多少？（每个球一样重）
            答：30% （不确定题目）

解：设红球R个，每个重r;蓝色球B个，每个重b

        R=90%B

        R*r=117% B*b

           àr/b=117/90=13/10        

 

37.       .韦恩图：说一个事件A占了百分之多少，一个事件B占了百分之多少，事件A又事件B的占了多少，随后问事件C最大可能占多少。（一共三个事件）(

解：AUB=A+B-AnB

则C最大是100%-A-B+AnB

38.    10000个人要交dues.大人交70刀，小孩交40刀，问是否可以得出小孩交了多少之类的
i. 告诉了总共收了多少dues
ii.告诉了一个比例（记不清了）

解：设大人x,小孩y,x+y=10000

    ià70x+40y=something à if there is only one set of solution,then ok

    iià if the ratio is x/y, then ok

   if the ratio is amount ratio à70x/40y is known à ok

39.    *3直角三角形两边（不是斜边）分别是15、20，求高？
答：12

 

40.     可否求出mn?
I. 4^n=2^m
II. 2^n=3^m

答案：C

Solution:认为是C，即使像某位同学推出的那样用I/II，得到另外第三个式子，但对于两个值有三个不同的式子，只能说明这两个值都同时等于0

I+II:

2^(2n)= 2^m; 2n=m

2^n=3^m; nLn2=mLn3; n=m(Ln3/Ln2); 2n=2m(Ln3/Ln2)

2n=m; 2n=2m(Ln3/Ln2)

so m = 2m(Ln3/Ln2)

m-2m(Ln3/Ln2)=0; m(1-2(Ln3/Ln2))=0;

so m=0

so n=0

so mn=0

so Answer is C

myice

 

46.       如果两个数同样的sign,则a@b=ab, 如果不同的sign,则a@b=a/b,问一下哪个正确？
I.   s@1=s
II.  s@t=t@s
III. 忘了

解：无论s正负如何 I都成立

 

47.        (DS) @代表乘或者除，问是否可以计算一个有这个符号的式子？
i.10@5-6@6=1
ii. 10@5-7@7=1

解：ià @为除法

    iià@不确定
答案：A

 

48.       A.给了5组数据（比如A/B/C/D/E），求ratio of A+B TO C+D+E?(求的是近似值) 相加一下算一算近似值就可以了

 

49.    *2 (DS) p is prime?
A. the only positive factor greater than sqrt(p) is p.
B. the only positive factor less than sqrt(p) is 1.

解：E

对任意一个p，设p=a*b，不妨令a<=b

如果p是一个质数，那么a=1,b=p

如果p是一个合数，那么a>1

i àif p=4 sqrt(p)=2, the only positive factor greater than 2 is 4. But 4 is not prime but a composite

ii àagain if p=4

[Prove]: This is an interesting topics in Number theory : prime number test.就是说给定一个数p，问p是不是素数。最简单判定方法是：

如果p是2，那么直接确定素数；

如果p是个偶数，显然也不是素数；

如果是奇数，那么，拿p依次除以所有小于p的数，如果有一个整除，那么这个数就不是prime；如果没有一个整除，那么p就是prime的。

但是其实并没有必要除所有小于p的数。因为p是奇数，除偶数是肯定不整除的，只需要除那些小于p的奇数就可以了。

其实还有更加简单的方法，如果p=a*b（a<=b)，那么可以肯定a<=sqrt(p)，也就是说，如果p是一个合数，那么它的一个因子必然小于p的平方根（不然的话，这些因子的乘积会大于p了）.有了这么个发现，我们就不必要依次去除小于p的奇数，仅仅依次除以小于p的平方根的奇数就可以了。

如果条件说，小于等于sqrt(p)的所有自然数里面，只有1是p的因子，就说明，这些小于等于sqrt(p)且大于1的自然数 ，都不能整除p，所以p是素数。（题目里面只说了小于sqrt(p)就忽略掉了完全平方数的Case）

 

50.     b*(b-a)+ 5(b-a)=b-5& b is not equal to 5， 问a,b的关系

解：b*(b-a)+5(b-a)=b-5

àb^2-ab+5b-5a-b+5=0 àb^2+4b+5=(b+5)aàa=(b^2+4b+5)/(b+5)

myice

 

51.       sqrt(3+ 3/n)=3sqrt(3/n), 问n的range. 答案有2<=n<=8, 1<=n<=14, n<=15.剩下两个没记住

解：原方程两边同时平方得到：

3+3/n=27/nàn=8

机经主人的记忆里的三个答案，后两者都不是，因为n不等于0

答案 A

 

52.       (9^9-9^8)/8

解：(9^9-9^8)/8=(9*9^8-9^8)/8=9^8

 

53.       *2 V1给了一个坐标轴，y=ax+b, 问是否过第一象限
             A. x intercept is -3
             B. the slope is positive

Answer:B

Solution：第一象限里面的点的特征是x>0,y>0

iàa(-3)+b=0àa可以小于0，不确定

iiàa>0 à无论b多么小，只要x足够大，y=ax+b就可以大于0，就会落入第一象限的

V2:  我记得有题的JJ是 什么Y=aX+b 问slope ,a&b <> 0

i x截距=y截距

ii y截距=2

大家后来讨论是c的 因为i 可能是过原点

可是我看到有条件ab不等于0 所以我选了A

 解: 1) x intercept=y intercept, only know b=y intercept=x intercept

        The slope =a, but don’t know a=?        insufficient

     2) y intercept=2, 但slope=a, 無法求得       insufficient

1)+2) y intercept =x intercept=2à (y-2)=a(x-2/a)

Still don’t know a                              insufficientàAnswer:E

54.    *2  hexagon 的each edge is 80, what is the diagonal?

解：这是一个等边六边形，相当于6个等边三角形拼起来的，对角线长度=2×80=160

55.    *2(DS) p(x)=ax^2+bx+c, this line are -1 and -3 at zeroes, p(5) is positive?
               A. y intercept is 3
               B. P(-4)-P(-3) is negative

解：由已知p(x)=(x+1)(x+3)=x^2+4x+3, p(5)=48 >0，

    or p(x)=-(x+1)(x+3)=-x^2-4x-3,p(5)=-48 <0

i à a >0 àp(5)=48

iià a<0 àp(5)=-48

答案：D

 

56.    (PS)给了两列对应的数 25，50，75，100，125
                     30，35，40， 45， 50

第一行是车行驶的路程，第二行是车的总花费（基本费用+每公里要收的钱），问基本费用是多少。我觉得是5.

解：设基本费用x，每公里费用y

x+25y=30

x+50y=35

解出x=25, y=0.2

 

57.    *2(DS)给了一个正方形的图，边长是20， 左上角和右下角各有一个虚线的等要直角三角形，边长分别是a,b,问去除虚线的两个三角形后剩下的面积
                A.（a+b）^2=144
                B.a^2+b^2=80

解：等腰三角形的面积之和为(a^2+b^2)/2,只要知道a^2+b^2就能够知道答案

ià a^2+b^2+2ab=144 à不确定

iià显然

答案：B

 

58.    *2(PS)

V1一个大圆里面切了一个小圆，说小圆的outside diameter is equal to inside radius of the large circular. And the cross-section area of the large circular is 49pai, what is the cross-section area of the small circular?

解：这个cross-section area就是圆面积

大圆面积 49paià大圆半径7à小圆半径7/2à小圆面积49pai/4

 

59.    (PS)A sequence 4,5,7,7,9,11. If the smallest number increases by 3, and the largest number increases by 2, and the other numbers increase by 1, what is the range of new sequence?

解：新的sequence变成7,6,8,8,10,13

   range=13-6=7

60.    *2(PS)

 

中间是跑道，距离为8。外面直的那一条边是100，中间那一圈的周长是400.跑道左右两边是半圆，问外面那一圈比里面一圈长多少？（选项有4个近似值和一个说是条件不够无法计算的选项）。我选了50.

里面的周长=100+100+2pair=400 ?r=100/pai

外面的周长=100+100+2pai（100/pai+8）=400+16pai

外面比里面长=16pai≈50