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一道princeton数学题, 请教!!!

这是今天做的一道princeton数学:

Two couples and one single person are seated at random in a row of five chairs,What is the probability that neither of the couples sits together in adjacent chairs?

我认为应该是1-P(3,3)*2*2/P(5,5)=4/5

可是答案是2/5

请教大家

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1-[2*P(4,4)*P(2,2)-P(3,3)*P(2,2)*P(2,2)]/P(5,5)=2/5

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个人感觉,此题大难,如果在考场上,我肯定也是按LZ的做法同样做错。。。

理解了LZ的思路和错处在于:

假设这五人为 A1、A2、B1、B2、C
按照LZ的捆绑法,A1A2、B1B2做为整体和C做全排列,就遗漏了这种情况:A1、B1、B2、A2、C
这种情况下因为B1B2还在一起,所以不合题意,但是不在P(3,3)*2*2的范围之内

我想了很久,只想出比较笨的办法:

分母还是P(5,5),分子先让两对夫妻做排列,再让C插空,直接算夫妻不在一起的情况,大致有三种类型:
 I 类:两夫妻分别坐在一起,如A1 A2 B1 B2,这样不管C怎样插空,都不满足题意
II 类:一对夫妻坐在一起,另一对分开,如A1 B1 B2 A2,这样C只能插中间,形成A1 B1 C B2 A2才能满足题意,这样的情况有 2*2*2=8种
III类:两队夫妻都不坐在一块,如A1 B1 A2 B2,这样C可以插入5个空中的任意位置,都满足题意。这种情况有8*5=40种

所以合计,概率是(8+40)/P(5,5)=2/5

不建议先算出有夫妻坐在一块的情况的比例,再用1去减。因为重复的情况很多,需要特别仔细。我用这种方法做了很久,还是没弄清楚。

如果有NN想到了比较好的方法,麻烦赐教~~!!

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任意一对夫妻坐在一起都步符合要求

AUB=A+B-A交B

A=第一对夫妻坐一起的情况

B=第二对夫妻做一起的情况

A交B=两对夫妻都坐一起的情况

除去AUB的就是符合要求的

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