问个排列组合的问题

明手级顶

Tanya prepared 4 different letters to be sent to 4 different address. For each letter, she prepared an envelope with its correct address. If the 4 letters are to be put into the 4 envelopes at random, which is the probability that only 1 letter will be put into the envelope with its correct address?

ans. 1/3

列出什么样的公式，如何想的。我着急全排列了一次，还好是4封，6封就没办法了。

谢谢先。

songyeonpp

我是这样想的，4封信放到4个信封里的全排列为4×3×2×1＝24，有且仅对一个的情

况是4×2＝8，所以8/24＝1/3

明手级顶

有且仅对一个的情况是4×2＝8，为什么是4×2

如果是6个信封，此题如何解？

xihonghui

我有个笨方法哈。先不用想概率，就看分子，4封信有且仅有一封对应正确的排法应该是：当1号信放入1号信封中的时候，剩余3套全都要不对应，共有4种情况，总排法即4×（3套全都不对应的排法）；

3套全都不对应的排法：P(3,3)-有且仅有1封对应正确的排法-有且仅有2封对应正确的排法=P(3,3)-C(3,1)×（2套全都不对应的排法）-1=P(3,3)-C(3,1)×1-1=2；

那么，4封信有且仅有一封对应正确的排法应该是：4×2=8；

同理，如果是5套信封，则应该是5×（4套全都不对应的排法），而4套不对应应该为：P(4,4)-C(4,1)×（3套全都不对应的排法）-C(4,2)×（2套全都不对应的排法）-1=24-4×2-6×1-1=9；所以5套信封结果是5×9=45

同理，6套信封：6×[P(5,5)-C(5,1)×（4套不对应）-C(5,2)×（3套不对应）-C(5,3)×（2套不对应）-1]=6×44=264

最后，求概率，比上分母P(n,n),n是信封信纸的套数～～～

有没有NN给个更简单的方法呢？感觉我的思路比较繁琐，当然，现场出题应该不会出太大的数目的。

cdef429

感谢楼主，辛苦了。

冰淇淋机
冰激凌机

Persephoner

因为只有一封信with correct address，第一步：4封信有4个可能性，第二步：剩下

的三封信都不能对，那么放第二封信的时候，只有2个错的信封可以放；第三步：第三封

信只有一个错误的信封可以选，因为要保证第四封信也是放错误的信封；第四步：只要第

三步确定了，第四封信的信封就确定了。于是乘法原理：4x2x1x1=4x2，所以答案是1/3。

shawlen

我的想法

固定信封的位置（想象），选出一个放对C（4，1），则其他三个必须放错，

选定一位，这个位置有两种选择，则其他两位的位置只能有一种排法，

所以2XC(4,1)=8