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陈向东 数学思维70

问下列哪个点(r,s)在直线y=2x+3上

(1)(2r-s+3)(4r+2s-6)=0

(2) (3r+2s-5)(2r-s+3)=0

答案:E

请解释一下多谢

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我觉得是不是1.2两个选项都能得出(r,s)在该直线上或不在该直线上,因此不能确定到底(r,s)在不在该直线上。

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两个式子都包含(2r-s+3),在y=2x+3条件下都为0,有无穷解··所以E

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第一步:

两个条件各自独立来看,可以分别得出:

(1)2r-s+3=0 或者 4r+2s-6=0.

(2)3r+2s-5=0 或者 2r-s+3=0.

都是一个证明点在直线上,另一个接证明点不在直线上,即不能得出唯一性结论。——排除选项A,B,D.

第二步:

两个条件结合起来用,可以导出如下计算:

(2r-s+3)(4r+2s-6) = (3r+2s-5)(2r-s+3),消去红色部分,得到:

4r+2s-6 = 3r+2s-5,消去红色部分只剩下了一个变量r,此时无论r值为多少,都不能说明点(r,s)是否在直线上。——C也不对。

对思路的补充说明:

误选了C 的原因可能是——看到两个条件中有相同的因式2r-s+3,就理所当然地认为是由于它的值为零,所以使得两个方程都可以为零,于是得出了点在直线上的结论。将C 的错误原因解释为“无穷多组解”的朋友可能也在思考时误入了这条歧途。

事实上,当动笔将两个条件结合起来的时候,就会很容易看到,(1)和(2)的关联之处在于二式相等(都等于0),此时只要联立二者尝试求值或化简,就会首先消去共有的那个因式2r-s+3,于是发现,决定点是否在直线上的其实是两个方程中不相同的两个因式。直观判断的思路也由此可见其思维漏洞——未经验证就直接排除了这样一个可能性:两个方程均为零的原因可能不是2r-s+3=0,而是(1)(2)中看起来不同的那两个因式均为零。

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我个人的感觉是,将(1)和(2)联立之后,得出r = 1,但是在r=1的情况下,s有两个结果,分别是1和5,(1,1)显然不在直线上

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