| 整除---- 分赃就要平均！ 整除的定义 整除： 若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．
注：a or b作除数的其一为0则不叫整除
整除的一些性质为：
（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．
（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．
（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．
有关整除的一些概念：
整除有下列基本性质：
①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。
②若a｜b，则对任意c，a｜bc。
③对任意a，±1｜a，±a｜a。
④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。
对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
整除的规律 整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除
GMAT数学希望满分的请看
首先：数学满分不一定在于数学水平多高 其次：不一定在于会多少题，而在于能做对多少题
TRICK点：
1、度量单位不一样，每个数字指代的对象有差别，通常英制的会给出换算，但公制的如厘米，米不会给出换算。另外是时间的换算，今天考到一个类似三个管抽水和放水的题，给的条件是小时，问的是分钟，还有就是半径和直径不要弄错，注意一点：半径的周长=半圆+直径，而不只是半圆，本月JJ有一道这样的题。
2、PS题：是求比率，还是求数值要看清；比率的话要看问题是“谁和谁的比率”
3、关于打折是打掉的部分还是折后价要看清。
4、题目经常有隐含条件，如：integer, consecutive,different, nonzero等，任何一个条件都要看到。
5、DS题：不求解值，只看能否求出。DS题尤其注意，当准备选C的时候，一定看看B是否单独充分。
6、有时候计算不困难，但要看清楚问题，今天还考到一个，是三个人走的距离，一元一次方程，很容易，但要看清楚问题问的是哪个人走的，因为从列式子的角度来讲，都会设第一个为X，而最后问的是第三人走的距离。
7、关于零，正负号的问题一定不要漏掉，还有就是末位数字的1，5，6，这时一定要考虑零——CD网的管理员，你不想着他，ZEROS就让你得不了高分（这难道是天意？）
8、注意题目暗含的条件，这里会用到常识，为什么叫（problemsolving）其实GMAT已经把解题思路给你了。有些题单纯从数学角度来讲是一种解，但从解决生活问题来讲又会有解，比如人的分配，卖汽车，都不会有分数，有整数解就行。还有就是树的影子问题，这暗含的条件就是相似三角形。
9、关于整数条件的给出。和上面那条相反，这一类题千万不要自加条件。有时候要看清题是否提到了整数，如果没说整数，一定不要认为这就是整数，即使给你的条件也是整数。而且这种题往往容易考到中位数（MEDIAN）（本月机经中一道类似的，3/5/6/7/9/X，其实这题很善良了，用整数也能算出多个可能）
10、现在比取值范围大小的题很多，如果试数的话，一定考虑-1，0，1分开的这些区间，千万不要只考虑大于0和小于0，因为很多都是分数的比较。
最后作题注意：当你要按CONFIRM键之前，一定再看最后一眼，我不论是模考还是真考，每套题总有3个题左右，在看了最后一眼后把错误改了过来。（这是觉得这对50分和51分的区别有时是决定性作用）
目前想到这些，如有再加。祝大家考好！
关于GMAT数学中divide， divisible 美国大学教案的解释
if theremainder of dividing y by x is 0 then we can say:x divides y y isdivisible by x x is a factorof y x is adivisor of y y is amultiple of x y isdivisible by x 他们都是 Y/X 在做数学的时候大伙可一定注意呀～
一元二次方程根的判别式的综合应用
之前做讨论稿的时候提到过下边这份资料，是以前弄百度知道团的时候找的，不是我原创的，不过个人感觉整理的还不错，发上来跟大家共享一下。
一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 定理1 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根 定理2 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根 定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根 2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。 定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0 定理5 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0 定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0 注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0 二.根的判别式有以下应用：
不解一元二次方程，判断根的情况。 例1．
不解方程，判断下列方程的根的情况： (2)ax^2+bx=0(a≠0) 解： (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵Δ=(-b)2-4·a· ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0； 解：Δ=(-4)2-4· （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜ （2）∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=0，即36-4k=0.解得 （3）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ<0，即36-4k<0.解得
证明字母系数方程有实数根或无实数根。 例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明： Δ=-4(m2+2)2 ∵不论m取任何实数 ∴-4(m2+2)2<0, 即Δ ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： （1）计算Δ （2）用配方法将Δ恒等变形 （3）判断Δ的符号 （4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
应用根的判别式判断三角形的形状。 例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。 (提示：答案为ΔABC为RtΔ）
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式 例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ） （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（） 分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ 解：（1） ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=k2-4×16× ∴k=+40或者 （2） ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴
可以判断抛物线与直线有无公共点 例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？ 解:列方程组消去y并整理得 ，∵抛物线与直线只有一个交点， ∴Δ＝0，即 4m+5=0 ∴ 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
可以判断抛物线与x轴有几个交点 分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。 当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。 当 时，抛物线与x轴没有交点。 例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数： （１） （２） （３） 解：（１）Δ＝16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。 （２）Δ＝36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。 （３）Δ＝4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。 例8、已知抛物线 （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？ （２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。 （３）当[!--empirenews.page--]m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？ 解：令y=0，则 Δ＝ (1)∵抛物线与x轴有两个公共点， ∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴ (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点， ∴Δ＝0，即 –4m+8=0 ∴ 当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。 (3)∵抛物线与x轴没有公共点， ∴Δ<0，即 －4m+8<0， ∴ ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题 分析:抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法： 例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。 （参考：图象与x轴两个交点间的距离是3） | 
