【一点GWD数学笔记】关于排列组合/概率/数论/整除

蜂鸣

抄的笔记，大家看看能应用就应用上吧，算是我告别GMAT时对大家一点小小的不起眼的贡献：

1。排列组合：

可“区分”的叫做排列 abc P33

不可“区分”的叫做组合 aaa C33

用下列步骤来作一切的排列组合题：

（1）先考虑是否要分情况考虑

（2）先计算有限制或数目多的字母，再计算无限制，数目少的字母

（3）在计算中永远先考虑组合：先分配，再如何排（先取再排）

例子：

8封相同的信，扔进4个不同的邮筒，要求每个邮筒至少有一封信，问有多少种扔法？

第一步：需要分类考虑（5个情况）既然信是一样的，邮筒不一样，则只考虑4个不同邮筒会出现信的可能性。

第二步：计算数目多或者限制多的字母，由于信一样就不考虑信而考虑邮筒，从下面的几个情况几列式看出每次都从限制多的条件开始作。先选择，再考虑排列。

5个情况如下：

a. 5 1 1 1：4个邮筒中取一个邮筒放5封信其余的3个各放一个的分法：C(4,1)=4

b.4 2 1 1：同上，一个邮筒4封信，其余三个中间一个有两封，两个有一封：C(4,1) * C(3,1)=12

c. 3 3 1 1: C(4,2) =6

d. 3 2 2 1: C(4,1) * C(3,2) = 12

e. 2 2 2 2 :1


4＋12＋6＋12＋1＝35种放法


我的排列组合一向不好，但是用老师这个顺序做题，正确率大副上升。大家如果有数学不太灵光的，可以考虑一下。

蜂鸣

2。概率

加法原则和乘法原则：问自己这个事儿完成了没有？如果完成了就是加法原则，没有完成就是乘法原则。

例子：从北京到上海可以乘飞机（3种方案），轮船（2种方案），或者火车（5种方案），问从北京到上海乘这3种交通工具共几种方案？答：既然任何一个方案都已经到达了上海，这件事儿已经完成了，所以用加法原则：3＋2＋5＝10种

例子：从北京到上海有2条路线，从上海到深圳有5条路线，问从北京出发经由上海到深圳会有多少种路线？答：当你到达上海时还没有到达深圳呢，没有完成，那就乘起来，用乘法原则：2×5＝10

蜂鸣

3。数论

考试时可以运用歌德巴赫猜想：任何一个大于等于4的偶数都能表达成两个质数和的形式。

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求最大公约数的方法：辗转相除法


辗转相除法就是当你求AB两个数的最大公约数时你先用大数去被小数除，除完得到一个余数，下一步，你用上一步中那个较小的数去被上一步中的余数除，再得到余数，再继续重复这个步骤直到你用一个除数被余数除时余数为0，在最后这一步中的除数就是AB的最大公约数。我会用一个图来表示这个步骤的。大家看图一。

蜂鸣

AB两数的最大公约数×AB两数的最小公倍数＝A×B


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整除，余数，因子数的概念：

如何求一个数共有多少个不同的factor（因子）？

将这个数写成它质因子幂指数相乘的形式，然后将每一个质因子的幂加一，然后彼此相乘，就得到了这个数包括1和它本身在内的所有因子个数：


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任一个自然数n,它的因子个数如果是偶数的话，那么它的因子个数中有一半儿因子小于根号下的n，有一半儿大于根号下的n。

如果一个自然数m它的因子个数是奇数的话，它就必然是一个完全平方数，且根号下m就是它的一个因子。当你得到m的因子数后，若是a个的话，它所有的因子必然有(a-1)/2个是小于根号下m，有（a-1)/2个大于根号下m。

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蜂鸣

4。整除和余数的一些概念

被2，4，8整除的特点：

譬如说一个数3472，要知道被2整除余几，就看最后一位2除以2，余几原数3472被2除就余几，能整除则原数也能整除；被4除时，要看后两位72被4除余几，原数被4除就余几，能整除则原数也能整除；被8除时，要看最后3位472被8除余几，原数被8除就余几，能整除则原数也能被8整除

被3，9整除的特点：

还是举一个例子，3472，把这个数每一位都加起来：3＋4＋7＋2＝16，1＋6＝7，加完以后得的数除以3余几，原数除以3就余几，如果能整除则原数也能被3整除；加完后的数被9除余几，原数被9除就余几。

被6除时：

分别考虑被2，和被3除时的情况

被5除时：

一个数最后一位除以5余几，原数被5除就余几

被11除时：

错位相加再相减。譬如说3472错位相加再相减的过程就是（3＋7＋1）－（4＋2）＝5

最后一位数5去除以11，能整除则原数3472就可以被整除，如果不能整除则原数不能被11整除。

蜂鸣

如何凑数？

例子：一个数n被3除余1，被4除余2，被5除余1，问被60除余几？

凑数的原则：（1）从最小数开始；（2）凑后边时要保证前面已经满足的不变化。

（1）从3开始，最小为1：1

（2）保证它的情况下凑被4除余2：当然每次就要加3，加3这么加上去得1＋3＋3＋3＝10，10被4除余2

（3）在保证前面的情况下凑被5除余1：在10的基础上每次加上3和4的最小公倍数12，得（1＋3＋3＋3）＋12＋12＋12＝46，此时46被5除余1

（4）检查一下，46能被3除余1，被4除余2，被5除余1。用46除以60就得到余数

蜂鸣

5。幂得尾数循环特征

比如说3333^7777和7777^3333比，最后一位谁最大？其实这类问题只和个位数有关。这个问题可以被理解成为3^7777和7^3333比，最后一位是怎么比得的。
每一个数它的n次方都是4个4个循环的：
个位数是1的n次方尾数循环是：1111 1111 1111 1111....
个位数是2的n次方的尾数循环为：2468 2468 2468 2468....
个位数是3的n次方的尾数循环为：3971 3971 3971 3971....
个位数是4的n次方的尾数循环为：4646 4646 4646 4646....
个位数是5的n次方的尾数循环为：5555 5555 5555 5555....
个位数是6的n次方的尾数循环为：6666 6666 6666 6666....
个位数是7的n次方的尾数循环为：7931 7931 7931 7931....
个位数是8的n次方的尾数循环为：8426 8426 8426 8426....
个位数是9的n次方的尾数循环为：9191 9191 9191 9191....

在这道题中，把7777的最后两位除以4，余数是1，我们就知道是3的尾数循环的第一位，也就是3。换句话说3333^7777的最后一位就是3

把3333的最后两位除以4，余1，所以就知道7的尾数循环第一位，是7，所以7777^3333最后一位就是7。

Caesar

ths

Gega

楼主太好了

Daylily

good