| 关于”整除“的一些整理 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。 0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。 （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。 （19）能被25整除的数的后二位数字如果是25的倍数，那么这个数就是25的倍数。 数学理论的总结 奇偶性：
需要注意的两点：1.负数也有奇偶性。 2. 数字0因为能够被2整除，所以是偶数。
性质：1.奇数+/-奇数=偶数；偶数+/-偶数=偶数；偶数+/-奇数=奇数；（只要相同就是偶）2.偶数*奇数=偶数；偶数*偶数=偶数；奇数*奇数=奇数(只要有偶就是偶)
质合性：
任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
大于2的质数都是奇数，数字2是质数中唯一的偶数。
数字1既不是质数，也不是合数。
因子和质因子：
任何一个大于1的正整数，无论是质数还是合数都可以表示质数因子相乘的形式。
任意一个自然数的因子的个数为质因数分解式中每个质因子的指数加1相乘的积。
一个完全平方数的因子个数必然为奇数；反之，任何一个自然数若有奇数个因子，这个自然数必为完全平方数。若它有偶数个因子，则此自然数一定不是完全平方数。
只有2个因子的自然数都是质数。
若自然数N不是完全平方数，则N的因子中小于根号N的因子占一半，大于根号N的因子也占一半。
若自然数N是完全平方数，并且根号N也是N的一个因子，那么在N的所有因子中除去根号N之外，小于根号N的因子占余下的一半，大于根号N的因子也占余下的一半。
如果自然数N有M个因子，M为大于2的质数，那么N必为某一质数的（M-1）次方。
连续性：
如果N个连续整数或者连续偶数相加等于零（N为大于1的自然数），则N必为奇数。（注意要把0算上）
若N个连续奇数相加等于零（N为大于1的自然数），则N必为偶数。
奇数个连续整数的算术平均值等于这奇数个数中中间那个数的值。
偶数个连续整数的算术平均值等于这偶数个数中中间两个数的算术平均值。
前N个大于0的奇数的和为N^2。
任何两个连续整数中，一定是一奇一偶，它们的乘积必定为偶数。
任何三个连续整数中，恰好一个数是3的倍数，并且这三个连续整数之积能够被6整除。
若三个连续的自然数的算术平均值为奇数，则这三个自然数的乘积必为8的倍数。
若三个连续的自然数的算术平均值为奇数，则这三个自然数的乘积必为24的倍数。
数的开方和乘方：
a^n means thenth power of a.
自然数N次幂的尾数循环特征：尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环；尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环；尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环；尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环；尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环；尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环。
整除特性：能够被2整除的数其个位一定是偶数；能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除；能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除；能够被5整除的数的个位是0或5；能够被8整除的数是最后三位能够被8整除；能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除；能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除；（记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。）
圆形排列和条形排列总结先写规律：环形排列与直线排列相比，就相当于少了一个元素。所以可以先求直线排列，再求圆形排列。以下的题都选自以前jj里的题
例一、在已有5个钥匙的钥匙环中放入2个钥匙,这2个钥匙相邻的概率？ 我的思路：第一种解法：题目可以转化为先将其中一把钥匙A放入钥匙链种，这样key chain 中就有6把钥匙了！然后再放另一把钥匙B，求钥匙B和钥匙A相邻的概率。六把钥匙六个位置，所以分母是6（因为是圆）分子要求B和A相邻的话只有两个位置。所以是2/6 第二种解法：利用这个规律 本题直线排列是：2C(1,6)/P(2，7） 所以换成环形的话就应该是：2C(1,5)/p(2,6)=2/6 所以本题的答案是2/6
例二、五个人站成一个圈的那道题：利用规律很容易得p(4,4)
例三、5个点（其中有一红点）排成一个圆圈，5个人A、B、C、D、E，其中A必须站在红点上，问有多少种不同的站法 因为A点的位置是固定的，所以我们先排其他4个点。按环形排要少一个元素，所以这四个点排成一个圆形的话就是P(3,3) 他们排好后有4个位置可以放A，所以是4 因而我认为答案应该是P(4,4)
例四、6个盘子，一蓝5白，摆成一圈。五种坚果，其中有N和R，别的不知。如果N或R之一必须放在蓝盘子中，其他盘子各放一个坚果，共有几种摆法。 [确认]： 240 [思路]：2*P(5,4)=240 首先6个盘子5白一蓝排成一个圈的排法只有一种，所以只需考虑坚果的方法！ 放入蓝盘子的坚果有N或R所以有两种。 其他五个盘子放4中坚果，与要考虑排列所以是P(5,4) 所以最后答案是240
独立重复性试验总结独立重复性试验的特点是：很难搞清顺序 先写规律：第一步：先求出特殊概率。第二步：找到特殊情况和一般情况之间的因子。以下的题目全部选自jj 例一、投一枚硬币2n次，求出现正面k次的概率？ 第一步：特殊概率，前k次出现正面的情况（1/2）^k(1/2)^(2n-k) 第二步：特殊情况和一般情况之间的因子。C(k,2n) 所以答案为C(k,2n)*（1/2）^k(1/2)^(2n-k) 例二、有4组人，每组一男一女，每组中各取一人问取出两难两女的概率？ 第一步：前两组取男，后两组取女（1/2）^4 第二步：差的因子C(2，4） 所以答案为C(2，4）*（1/2）^4 例三、一个人投飞彪，击中靶心的概率为0.7，连续投4次飞彪，问有两次击中靶心的概率？ 第一步：特殊情况：前两次击中，后两次没击中：（0.7）^2(0.3)^2 第二步：差的因子：C(2,4) 所以答案为C(2,4)*（0.7）^2(0.3)^2 例四、某种硬币每抛一次正面朝上的概率为0.6问连续抛5次，至少有4次朝上的概率？ 有5次朝上（0.6）^5 有四次朝上C(4,5)*0.6^4*0.4 所以答案为（0.6）^5+C(4,5)*0.6^4*0.4 | 
