Q25:

If the sequence x₁, x_2, x_{3, …,} x_n, … is such that x₁ = 3 and x_n+1 = 2x_n – 1 for n ≥ 1, then x₂₀ – x₁₉ =

A. 2¹⁹

B. 2²⁰

C. 2²¹

D. 2²⁰ - 1

E. 2²¹ - 1

已经看过gwd讨论，但是还是不太明白，能否详细解释一下。

x₁ = 3=2¹ + 1,

x₂ =2x₁ -1=2² + 1...以次类推x₂₀ – x₁₉ =x₁₉– 1＝2¹⁹+ 1– 1＝2¹⁹

我的解法：

由x_n+1 = 2x_n – 1，可得：

x_n = 2x_n-1 – 1

两式相减，可得

x_n+1– x_n = 2(x_n–x_n-1)＝2^n-1(x₂–x₁)

而由题中“x₁ = 3 and x_n+1 = 2x_n – 1 for n ≥ 1 ”可得(x₂–x₁)＝2

因此x_n+1– x_n=2ⁿ

这是高中数学里面数列的标准解法。呵呵。