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标题: 转】关于求余数问题的一个简单方法-增强版 [打印本页]

作者: 蓝莓米苏 时间: 2010-4-28 11:46 标题: 转】关于求余数问题的一个简单方法-增强版

个人建议：在您看这份文档的同时，准备一支笔，一张草稿纸。如果看到例题，跟我的步骤，一步一步地同时写下来，这样比光看屏幕，要理解得更快！

我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到 mod 这个运算符。
mod：模。意思就是求余数。
比如说：5 mod 3=2， 100 mod 11=1
读作：五模三余二，一百模十一余一

这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。
在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。

首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。那么100+36除以7余几呢？或者100-36除以7余几呢？很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话，就是：(M＋N) mod q=(（M mod q）+（N mod q）) mod q

然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢？
我们不妨来这样做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
这时100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数乘以 N除以q的余数。

类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢？只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。

举例来说：求11^4除以9的余数。化成公式即是：11^4 mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

于是我们可以总结出这样的公式：
M*N mod q=（M mod q）*（N mod q） mod q
（ M^n mod q = （M mod q）^n mod q ）

那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢？

As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数；而1的任意次方，还是等于1。
所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。（或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。）

作者: 蓝莓米苏 时间: 2010-4-28 11:46

举例说明：求3^11除以8的余数。题目即是：3^11 mod 8=?
  3^11  mod 8
=3^10 * 3^1    （mod 8）
=(3^2)^5*(3^1) （mod 8）
=9^5  *  3       （mod 8）
=(8+1)^5 * 3    （mod 8）
=1^5 *3          （mod 8）
=3
发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。

那么再来看一道题目：求（2^100）*（3^200）除以7的余数
先化成计算公式：

(2^100)*(3^200)                         mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)]       mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2]       mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9)                mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9]       mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9]             mod 7
=2*9                                     mod 7
=4

注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。

我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢？赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。

相信只要练习了三四道题目，以后再碰到这样的余数题，就会会心地一笑：小样，秒掉你！

作者: myice 时间: 2010-4-28 16:16

很不错的方法

作者: 蓝莓米苏 时间: 2010-4-28 16:50

感谢加精呀

作者: gabriel_djh 时间: 2010-4-29 06:38

many thanks !!!

作者: tata 时间: 2012-12-18 13:19

ths

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