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标题: 始终不能突破余数问题 [打印本页]

作者: ferferzor    时间: 2009-9-3 07:16     标题: 始终不能突破余数问题

最近发现自己只要碰到余数问题就没什么头绪,请教各位大牛有没有什么窍门或总结?

eg. n is a positive integer and r is the remainder when (n-1)(n+1)is divided by 24, what is the value of r?

(1) n is not divisible by 2

(2) n is not divisible by 3

先谢谢各位了


作者: lanshichao90    时间: 2009-9-4 06:44

数论是难点哦!

1 设n=2N+1,带入发现r不确定

2 n=3N+1或者n=3N+2,带入同样r不确定

当两个条件一起,就是n必须是奇数,同时n=3N+1或n=3N+2

当n=3N+1时,N必须是偶数才能保证n是奇数,设N=2M带入 n=6M+1

带入(n-1)(n+1)/24=M(3M+1)/2  M和3M+1奇偶性必然相反,所以可以整除,r=0

同理可证n=3N+2, N=2M+1, 此时r=0

所以综上,两个条件,r=0


作者: grassgreen    时间: 2009-9-4 20:39

多谢NN,我明白了

不过,这样做似乎太耗时了,有没有什么更简单的方法或者窍门呢?呵呵


作者: mayleilas    时间: 2009-9-5 07:43

我才看这类题目,感觉必须找出就是N=KM+b的这种形式,这是突破口,LZ的这题算比较复杂的了,一般解除上述形式就到此为止了,这题还TM代入! 弱弱的问句题外话,这种题目是中学还是小学的啊? 反正小学奥数我基本一题不会
作者: littleblues    时间: 2009-9-5 21:40

我是找几个数带入,不能被2又不能被3整除的数肯定是大于3的质数,一代入就发现都可以被整除。

作者: helenayer    时间: 2009-9-6 08:31

1,2,单独不行,

1,2合起来,

因为1,所以 都是偶数,那最小也是2,4,这样8搞定了,

因为2,所以(n-1),n,(n+1)中必有一个能被3整除,所以3搞定了,

综上,余0

其实也不快,因为要先排除1,2,单独不行


作者: helenayer    时间: 2009-9-6 08:40

补充一下,1单独不行是因为最多知道是乘积是偶数,

2单独不行,是你可以试3和5,或者4和6发现这个乘积可能是奇数,那搞不定8……

果然还是不简单……


作者: himba    时间: 2009-9-7 20:56

n-1,n,n+1

是3个连续整数.n=1的时候,乘积为0,余数是0

N大于1的时候,3个数是连续正整数。这个时候一般有2个做法,其1是试,随机选试3组,发现都可以整除,余数为0,考试的时候基本就可以选答案了。

第2个做法是论证,方法熟悉了以后其实论证的过程也不会超过2分钟的。

主要思路还是利用n-1,n,n+1是3个连续正整数的性质:其中必然有1个是3的倍数,至少1个是偶数。

条件1:N不是偶数,那么N-1和N+1都是偶数了。

条件2:N不是3的倍数,那么N-1和N+1中至少有1个是3的倍数。

条件1,2都不能单独论证,证明这1点可以借用另外1个条件。比如,想看看1单独行不行,就把2的条件取非带入。即,取N为非偶,但是是3的倍数。试验2的时候反之。还是利用3个连续正整数中必然至少1个为偶,1个为3的倍数的关系,将3的倍数放在不同的项身上,去试,这个过程可以很快。

然后,条件1+2:那么N-1和N+1,是2个偶数,且其中1个是3的倍数。另:4个连续整数中必然有1个是4的倍数。当3个连续正整数,中间为奇且不被3整除时,其前后必然有1个是4的倍数。所以,N-1和N+1,2个都为偶数,且至少带有以下因子:4,2,3,肯定被24整除。






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