Q13:

If the sequence x₁, x_2, x_{3, …,} x_n, … is such that x₁  = 3 and x_n+1 = 2x_n – 1 for n ≥ 1, then x₂₀ – x₁₉ =

A. 2¹⁹

题目的意思是：如果序列X1,X2,X3,...,Xn,...有如下性质：X1=3, Xn+1 = 2Xn -1，则X20 - X19 = ?

这个题目其实很简单，对于Xn+1 = 2Xn - 1 等式两侧同时减去1 得到 Xn+1 - 1 = 2Xn - 2 = 2(Xn - 1)

这里可以看出Yn = Xn - 1 这个数列其实是一个等比数列

X1 =3, X1 - 1 =2, 从而X20 - 1 = 2^20 从而 X20 = 2^20 + 1

而X19 - 1 = 2^19 从而X19 = 2^19 + 1

X20 - X19 = 2^20 - 2^19 = 2^19

The correct answer is A 

正解

我是用很笨的方法做的，先是x₂₀ – x₁₉ =x₁₉– 1

然后，x₁₉ =2x₁₈– 1=2(2x₁₇– 1)-1=4(2x₁₆– 1)-1=.....根据规律可以看出 x₁₉=2∧18x₁–(2∧0+.....+2∧17)

最后等于2∧19

通项做法：

x_n+1 +p= 2(x_n +p)

x_n+1 = 2x_n +p

so  p=-1

 x_n+1 -1= 2(x_n -1)      （q=2）

so  x_n -1=a₁q^n-1=(x₁ -1)2^n-1=2*2^n-1=2^n

x_n =2^n   +1

x₂₀ – x₁₉ =（2^20+1）-（2^19+1）=2^19