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标题: 试着解释一下Maryland 的集合问题 [打印本页]

作者: jupiter_li 时间: 2002-10-8 01:01 标题: 试着解释一下Maryland 的集合问题

7月JJ 共150人，其中60%有A，50%有B，30%有C，非A非B非C=5，A且B且C=5，求有且只有2种的总共有多少。（55）

看了maryland和版主的讨论，我认为关键出在AnB的定义上。
公式 I=A+B+C-AnB-BnC-AnC+AnBnC+非A非B非C 没错,但这里AnB 是单纯A和B的交集,并不是题中所说的只有两种(A和B), 这里 AnB是包括 AnBnC的。所以直接套用这个公式得出的70是不对的。

从另外一个角度推导：把AUBUC 画成三个圈，你会发现有7个独立的小块：
a, b, c, ab, bc, ac, abc . 注意这里的ab, bc, ac 是题中所说的只有2种的部分，而a 是指只有a 本身（当然还有个非A非B非C)。那么 AUBUC＝a+b+c+ab+ac+bc+abc+非A非B非C

那么A, B, C ， AnB，BnC，AnC 和 a, b, c,...是什么关系呢，如下
AnB= ab+abc
BnC=bc+abc
AnC=ac+abc

A=a+ab+ac+abc
B=b+bc+ab+abc
C=c+bc+ac+abc

推导一下，就可以发现这两个公式是等价的。
I=A+B+C-AnB-BnC-AnC+AnBnC+非A非B非C
AUBUC＝a+b+c+ab+ac+bc+abc+非A非B非C

那怎么做题呢：一个是用公式， maryland写的
全集=A+B+C—（仅属于两个集合的元素个数＝ab+ac+bc）—2（AnBnC的元素个数）+（非A非B非C的元素个数）
150=90+75+45-x-2*5+5, So x=55
这个公式也是可以用上述公式推导出的。

或者想
A=a+ab+ac+abc＝65%*150=90
B=b+bc+ab+abc=50%*150=75
C=c+bc+ac+abc=30%*150=45
三个等式相加得 a+b+c+2(ab+bc+ac)=195 (1)

再由 AUBUC＝a+b+c+ab+ac+bc+abc+非A非B非C 得 a+b+c+(ab+bc+ac)=150-5-5=140 (2)

公式（1）－公式（2）＝ ab+bc+ac=55

请讨论

作者: pgclt 时间: 2002-10-8 06:07

Good analysis. but the following statement doesn't seem right to me.

"公式 I=A+B+C-AnB-BnC-AnC+AnBnC+非A非B非C 没错,但这里AnB 是单纯A和B的交集,并不是题中所说的只有两种(A和B), 这里 AnB是包括 AnBnC的。 "
------------------------------------
我认为这里 AnB是不包括 AnBnC的。

My understanding:
1) T=AUBUC+（非A非B非C的元素个数）=A+B+C-(AnB)-(AnC)-(BnC)+(AnBnC) +（非A非B非C的元素个数）
------------------------------------
(AnB), (AnC), (BnC) 求有且只有2种

2) T=AUBUC+（非A非B非C的元素个数）=A+B+C-(AnB)-(AnC)-(BnC)-2(AnBnC) +（非A非B非C的元素个数）
-----------------------------------------
(AnB), (AnC), (BnC) 求有2种or3种(AnBnC).

I think we are thinking about the same picture, I drew a graph and it's easier to see.

作者: jupiter_li 时间: 2002-10-9 00:35

谢谢你.
但我还是不能同意你

如果是这样，那答案就不是 55了。

没有图确实不太好说，版主有没有什么办法？

作者: pgclt 时间: 2002-10-9 06:02

Jupiter, I studied my graph again and you are right. Sorry for the confusion. I must have been thinking one thing and writing another. Thanks for the clarification.

1) T=AUBUC+（非A非B非C的元素个数）=A+B+C-(AnB)-(AnC)-(BnC)+(AnBnC) +（非A非B非C的元素个数）
------------------------------------
(AnB), (AnC), (BnC) 有2种or3种(AnBnC).

2) T=AUBUC+（非A非B非C的元素个数）=A+B+C-(AnB)-(AnC)-(BnC)-2(AnBnC) +（非A非B非C的元素个数）
-----------------------------------------
(AnB), (AnC), (BnC) 有且只有2种

作者: maryland 时间: 2002-10-9 15:20 标题: Thanks a lot!!

我现在也明白其中的分别了，确实是对两数交集的理解不同，有且只有两种还要把三三相交的部分减去。真的是要讨论之后才能辨清一些概念啊。再次感谢jupiter_li和pgclt！
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