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提问一个

本月比较难的题目

4,6,8,....22连续10个偶数构成一个list L;从这个list里选8个数构成一个list T.问:T的standard deviation.

1. list T和list L的平均值相等. 2. list T里没有22.

请给出具体的解题步骤

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列出数列:4,6,8,10,12,14,16,18,20,22

1. list T和list L的平均值相等

可以知道list L的平均值是26,而你有没有发现这个数列的特殊,就是4+22=26

,6+20=26。。。。所以要list T的平均值=list T=26,而T是从L中去掉2个,

所以是去掉以上的4+22=26,6+20=26。。。。其中一对。但是去掉哪对,就不

知道,所以不能确定方差。

2. list T里没有22.

单独不行。但是结合1,同理和上面的分析一样,list没有22,那么也没有4,

所以可以计算出方差。

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答案是B,这道题目的具体推导比较复杂。

由题目条件很容易算出原数列的平均数为13,方差(variance)为33。假设T数列中除了22以外去掉的另一个数是X,应用公式

variance = (x1^2 + x2^2 + ..... + xn^2)/n - A^2 (其中A表示数列的平均值,^2表示取平方,为了方便,对x1, x2等数没有使用下标),可以得到T数列的方差为:

Variance = (4^2 + 6^2 + ....+ 20^2 - X^2)/8 - [(4+6+......+20 - X)/8]^2

经过化简,可以得到一个抛物线方程(二次方程):

variance = (-9X^2 + 216X + 624)/64,由于抛物线向下,所以在其对称轴处可以取极大值,对称轴为 X = -216/(-9*2) = 12,也就是当另一个被去掉的数是12时,所得到的T数列的方差最大,根据上面的公式算出的方差是30,比原数列的方差33小。所以无论T数列的构成如何,其方差总是比原数列小。

这道题目的另一个比较简单的推理是原数列去掉22以后,所得到的9个数的数列中再去掉哪一个数后得到的新数列的方差最大?显然是去掉12以后得到的方差最大,因为12是9个数数列的平均值,一个数列去掉其平均值之后所得到的新数列的方差最大,这个性质很容易从方差的计算公式看出来。这样再将12从这个数列中去除,计算出新的数列的方差比33小,就可以推导出任何8个数的数列的方差都比原数列小。

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