GMAT考试数学知识点——整除

myice

整除的定义
　　整除： 若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．
　　注：a or b作除数的其一为0则不叫整除
　　整除的一些性质为：
　　（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．
　　（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．
　　（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．
　　有关整除的一些概念：
　　整除有下列基本性质：
　　①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。
　　②若a｜b，则对任意c（0除外），a｜bc。
　　③对任意a，±1｜a，±a｜a。
　　④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。
　　对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
　　若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

myice

整除的规律
　　整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
　　整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
　　整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
　　整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
　　整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
　　整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
　　整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
　　整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
　　整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
　　整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除
　　整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
　　整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
　　整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
　　整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
　　整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
　　整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除
　　整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除
　　整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除
　　整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除
　　切记：0 不能做除数！

myice

整除规律举例

　　　整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
　　例：①147，截去个位数字后为14，用14-7*2=0，0是7的倍数，所以147也是7的倍数。
　　②2198，截去个位数字后为219，用219-8*2=203；继续下去，截去个位数字后为20，用20-3*2=14，14是7的倍数，所以2198也是7的倍数。
　　证明过程：
　　设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
　　q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
　　2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
　　又因为21=7*3，所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数