始终不能突破余数问题

ferferzor

最近发现自己只要碰到余数问题就没什么头绪，请教各位大牛有没有什么窍门或总结？

eg. n is a positive integer and r is the remainder when (n-1)(n+1)is divided by 24, what is the value of r?

(1) n is not divisible by 2

(2) n is not divisible by 3

先谢谢各位了

lanshichao90

数论是难点哦！

1 设n=2N+1,带入发现r不确定

2 n=3N+1或者n=3N+2,带入同样r不确定

当两个条件一起，就是n必须是奇数，同时n=3N+1或n=3N+2

当n=3N+1时，N必须是偶数才能保证n是奇数，设N=2M带入 n=6M+1

带入(n-1)(n+1)/24=M(3M+1)/2  M和3M+1奇偶性必然相反，所以可以整除，r=0

同理可证n=3N+2, N=2M+1, 此时r=0

所以综上，两个条件，r=0

grassgreen

多谢NN，我明白了

不过，这样做似乎太耗时了，有没有什么更简单的方法或者窍门呢？呵呵

mayleilas

我才看这类题目，感觉必须找出就是N=KM+b的这种形式，这是突破口，LZ的这题算比较复杂的了，一般解除上述形式就到此为止了，这题还TM代入！ 弱弱的问句题外话，这种题目是中学还是小学的啊？ 反正小学奥数我基本一题不会

littleblues

我是找几个数带入，不能被2又不能被3整除的数肯定是大于3的质数，一代入就发现都可以被整除。

helenayer

1,2,单独不行，

1，2合起来，

因为1，所以 都是偶数，那最小也是2，4，这样8搞定了，

因为2，所以(n-1)，n,(n+1)中必有一个能被3整除，所以3搞定了，

综上，余0

其实也不快，因为要先排除1,2,单独不行

helenayer

补充一下，1单独不行是因为最多知道是乘积是偶数，

2单独不行，是你可以试3和5，或者4和6发现这个乘积可能是奇数，那搞不定8……

果然还是不简单……

himba

n-1,n,n+1

是3个连续整数.n=1的时候，乘积为0，余数是0

N大于1的时候，3个数是连续正整数。这个时候一般有2个做法，其1是试，随机选试3组，发现都可以整除，余数为0，考试的时候基本就可以选答案了。

第2个做法是论证，方法熟悉了以后其实论证的过程也不会超过2分钟的。

主要思路还是利用n-1,n,n+1是3个连续正整数的性质：其中必然有1个是3的倍数，至少1个是偶数。

条件1：N不是偶数，那么N-1和N+1都是偶数了。

条件2：N不是3的倍数，那么N-1和N+1中至少有1个是3的倍数。

条件1，2都不能单独论证，证明这1点可以借用另外1个条件。比如，想看看1单独行不行，就把2的条件取非带入。即，取N为非偶，但是是3的倍数。试验2的时候反之。还是利用3个连续正整数中必然至少1个为偶，1个为3的倍数的关系，将3的倍数放在不同的项身上，去试，这个过程可以很快。

然后，条件1+2：那么N-1和N+1，是2个偶数，且其中1个是3的倍数。另：4个连续整数中必然有1个是4的倍数。当3个连续正整数，中间为奇且不被3整除时，其前后必然有1个是4的倍数。所以，N-1和N+1，2个都为偶数，且至少带有以下因子：4,2,3，肯定被24整除。