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[转帖]发个文氏图,对集合不太理解的xdjm们可能会有用

文氏图,或温氏图维恩图范氏图,是在所谓的集合论数学分支中使用的一种图解。它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学逻辑联系。

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[编辑] 例子

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集合 A 和 B

比如橙色的圆圈(集合 A)可以表示两足的所有活物。蓝色的圆圈(集合 B)可以表示会飞的所有活物。橙色和蓝色的圆圈交叠的区域(叫做交集)包含会飞两足的所有活物 - 比如鹦鹉。(把每个单独的活物类型想象为在这个图中的某个)。

人和企鹅可以在橙色圆圈中不与蓝色圆圈交叠的部分中。蚊子有六足并且会飞,所以文字的点可以在蓝色圆圈中不与橙色圆圈交叠的部分中。不是两足并且不会飞的东西(比如鲸和响尾蛇)可以表示为在这两个圆圈之外的点。在技术上,上面的文氏图可以解释为 "集合 A 和集合 B 之间的联系,它们可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。

集合 AB 的组合区域叫做集合 AB并集。在这个个例中并集包含要么两足、要么会飞、要么两足并且会飞的所有东西。圆圈交叠暗示着两个集合的交集非空 - 就是说在事实上活物同时在橙色和蓝色圆圈中。

有时在文氏图在外面绘制一个方框(叫做全集)来展示所有可能事物的空间。如上提及到的,鲸可以表示为不在并集中但在(活物或所有事物,依赖于你如何选择对特定图的全集的定义)全集中一个点。

[编辑] 类似的图

Johnston图欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的任何区别都在它们的应用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。Johnston 图特别适用于命题逻辑的真值,而欧拉图展示对象的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。文氏图和欧拉图没有合并的原因好象是,欧拉的版本是早在 100 多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而 Venn 只留下了这么一个图。

在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联系,而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:

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在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合 A 是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪,集合 B 是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。进一步的说,集合 C(比如说金属造物)与集合 B 没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为 "集合 A 是集合 B 的真子集,而集合 C 和集合 B 没有公共元素"。

或解释为一个三段论

  • 所有 As 是 Bs
  • 没有 Cs 是 Bs
  • 所以,没有 Cs 是 As
  • 所以,没有 As 是 Cs 。

[编辑] 扩展到更多个集合

作了很多努力去把文氏图推广到多个集合。Venn 使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之前找到了一种能满足 Venn 有关对称图的非正式标准的优雅的方法。在设计彩色玻璃窗的过程中缅怀 Venn,A. W. F. Edwards 提出了‘齿轮’方法:

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Edwards 的三集合文氏图
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Edwards 的四集合文氏图
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Edwards 的五集合文氏图
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菩提本无树,明镜亦非台,本来无一物,何处惹尘埃

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thanks !!!![em115]

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