[讨论]狒狒的费解JJ数学题

zhouxh

数论篇 我参看了有位G友在九月份的一篇名为“狒狒：费解的数学题”（发表在JJ版：http://bbs.g-region.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2439&show=250）后，有些同感。我是今年6月参加的新东方。狒狒发了他的“GMAT数学逻辑宝典”。里面的题目都是GMAT以往的JJ。所以，做一下很有好处的。 以下是针对那位G友所提的一些难题的解释以及新的一些我不明白的数学题，希望得到大家的帮助。为了缩短篇幅，我把它放在三篇帖子中。这是第三篇： 1．（七.18题）N!尾数六位都是0，请问N至少是多少？答案：25。 我算了一下，主要看有几个5。5!尾数有1个0；10！尾数有两个0；15！尾数有三个0，……，所以，我觉得为数有六个0，至少也要有6个5，即是30。不知为何此处不能用上面的规律。 2．（四.28题）9的20次方的十位数是0，9的19次方的十位数是？答：8。 这道题好象狒狒上课讲过，可是我没有记下。自己觉得，9的1次方末位是9，二次方末位是1，依次类推，20次方的末位应为1，所以9的20次方=100a+1；9的19次方=10b+9。所以，（10b+9）*9=100a+1, so, 90b+81=100a+1（即：9b+8=10a）。再往下不会了，也不知这么推对不对？ 3．（四.14题）N is the sum of the first K consecutive integers, where 101<=K<=150. What is the sum of 1/N?the answer is: 2(1/101-1/151) 我不明白该从何下手。 4．（四.35题）N is positive integer. N是否为一个整数的平方？答案：D。 I．4N是一个整数的平方。 II．N的3次方是一个整数的平方。 单说II。若N的3次方=1，则满足N是一个整数的平方。若N的3次方=4，则N就不是整数的平方了。求助。 5．（四.21题）There are different scales: R scale and S scale. 在R方法下，6，24分别对应S方法下的30和60。R和S成linear关系。问要得到S方法下的100，应该在R方法下是多少？答：48。 实在是做了几遍都没有算出来48这个数。求助。 6．（五.14题）A1=2, A2=3, A3=A1*A2, A4=A1*A2*A3，……，if An=t (n>=3), so, An-2=? 没有思路。 7．（六.21题）某数h是否是质数？选D I．所有质因子>h/2;II. 所有质因子>h开平方 求助 8．（七.33题）计算从1/101+1/102+……+1/150的范围。答案是1/2 to 1/3。求助 谢了 ---------------------------------------------------------- 统计篇 1．（三.5题）缺勤次数人数 04 13 210 33 45 5次以上3 问：有缺勤记录的人的缺勤次数的中数是多少？答案是：2。 我认为题目中的文字有误：“中数”应为“众数”即mode。表示出现次数最多的数。这样一来，就好理解答案为什么是2了。 2．（四.31题）数列{150，200，250，n},问下列哪个可能是他们的media. 答：175，215。 175，215，235。 全部题就是这样子。题目没说是不是等差，所以，n can be everything。So, all of these three numbers are possible. 若是等差数列，则n可以等于100或300。等于100，则175 is the media; 若n=300, 则media should be 225。也不是题里的215呀。求助。 3．（三.18题）五个数，x,y,z,5,7,他们的arithmetic mean is 8, which one is true?答: I & II I. The range of the five numbers is 2 or more. II. At least one of x, y, z is more than 9. 我觉得II是没什么问题，但就是I。由I只能推出x+y+z=28。而若II对，则推出I里的range至少应是4（9-5=4）。我感觉是不是I题里有“2 or more”这样的“or”，所以也应算对呢？？？ ---------------------------------------------------------- 排列组合和概率篇 1.（二.13题）在已有5个钥匙环中放入两个钥匙，这两个钥匙相临的概率？ 答案是：1/3。 不明白。5个钥匙加上2个新的，一共是7个位置。若5个要是不再排列了，则，两个新钥匙也要看：第一个钥匙的位置有6种可能，第二个钥匙的位置有7种可能。所以总共有42种可能。其中在一起的方法有12种，不在一起的有30种，不知1/3是怎么算的。而且，若两个钥匙一起放的话，%是100%。另外，钥匙环的圆的，两把要是一个放在最左，一个放在最右，算不算是相临呢？求助。 5．（四.15题）There are 6 cards each with a number from 1to 6. Draw one card randomly and then put it back into a bowl. If one card is to be drawn randomly, and the sum of two cards is 8, what’s the probability that the card is 5?Sample solution is 2/5. Based on my personal understanding, the first drawing must be 3 and the second drawing must be 5 in order to satisfy all the requirements. The possibility of the first drawing is 1/6 and the possibility for the second is 1/5, therefore, the result should be 1/6*1/5=1/30. I don’t know why the sample solution is 2/5? 11．（六.17题）5 red cars, 3 blue cars, 1 white car and 1 black car 在5条车道上SHOW，问排发？答案：P10,5。 SHOW的意思是不是每条车道只能放一辆车？ 15．（七.36题）7人中选1个到数学课，10人中选2个到化学课，且没有一个人两种课都选上，问有几种组合方式？答案是C7,1*C10,2=315。 请问根据答案能推出题中所指的是7个人再额外加上3个人变成10人，从中选2个；还是，7个人这组和10人组完全没有关系? 谢了。

twinhead

时间有限,暂只解答数论篇
________________________
1
你的思路正确。不管其他数，要想结果末尾增加一个零，只要再乘10，也就是一个因子含5的数（因此最小步长为5，必定包含因子为2的数：偶数），前面的5，10，15，20都没问题的，可不要忘了25是5×5，两个5，前面的数字乘积又至少能提供两个2因子，自然使尾数的o由4增加到6。

2
计算方法如下：
设9的19次方十位是a，则可以表示为9^19=10a+9(个位必定为9）
故9^20=9*9^19=9*(10a+9)=90a+81=10(9a+8)+1,显然9a+8即为9^20的十位数(0),a自然应为8.

3
等差数列求和,n=0.5K(K+1),1/n=2/[k*(k+1)],列解为2[1/k-1/(k+1)],求和消项得结果.

4
I自然充分,无需多言
II任何一个数都能写成质数幂积的形式,如果N^3=M^2,则N一定能分解出某质数的2次幂,必然是完全平方数
你的说法忽略了前提:"若N的3次方=4"的情况在N为正整数的前提条件下是不可能成立的.

5
怎么会得不出?
设线性关系为S=kR+b
R=6 S=30
R=23 S=60
组成方程组求解k,b,二者关系为3S=5R+60, S=100时R=48
应该是思路不对头,把你建立线性关系的思路列出来大家讨论一下.

6
n>3后归纳通式:A(n+1)/A(n)=A(n),that is A(n+1)=A(n)^2,so A(n+2)=A(n)^4

8
根据每项都逐渐减小的规律(因分母增大)
原式子介于(50/101,50/150)之间,自然在1/2和1/3之间.

sunlose

1。请注意25=5*5，所以应该是25
2。9的奇数次方个位是9，偶数次方的个位是1，所以9（20）个位为1，相应9（19）个位为9；如果要9（20）十位为0，则一定是9*9的十位数8加上一个数成十，2，所以只有9*8的个位为2，也就是说9（19）的十位要是8才满足要求。 9（20）=x01, 9(19)=x89
3。N=1+...+K=(K+1)*K/2; SO 1/N=2(1/K-1/(K+1)) ; SO SUM OF 1/N = 2(1/101-1/102+1/102-...+1/151)=2(1/101-1/151)
4。N=4
5。Solution： 30=K*6+m； 60=K*24+m； =》K=5/3，m=10； =》100=5/3*X+10=》X=48

twinhead

In addition:
7题我的思路(仅供参考):
7．（六.21题）某数h是否是质数？选D
I．所有质因子>h/2;II. 所有质因子>h开平方
__________
首先如果h是2以外的偶数,必然有质因子2,2一定不大于根号h,II一定不成立;
如果h是完全平方数,自然II也不成立.
所以如果II成立,h必为非完全平方的奇数.
如果h只有一个质因子,当然是他本身,自然充分;
如果除本身外只有两个质因子,自然可以写成h=a*b
因为 根号h*根号h=a*b,故  (根号h/a)*(根号h/b)=1,要么二者都是1,要么是两个倒数.
都是1的情况其实就是a=b=根号h,h是完全平方数,不在考虑之内;
分别为倒数则一个大于1,一个小于1;一个大于根号h,一个小于根号h
也就是意味着两个质因子必分列数轴上根号h的左右

这样可推可知如果所有质因子都大于根号h,则必为本身一个质因子,h必为质数,否则如果有1个非本身的质因子大于根号h,必有另一个小于根号h的对应.

至于I的充分性,因对于大于5的整数,0.5h大于等于根号h这个等式恒成立
而II尚充分,I自然也充分

由此得D

请大家指点.
btw:其实"必有质因子分列根号h左右"的特性是因子乘积得某数的必然结果,自己举几个数字就会想到这个可能,按两个推一下N个质因子就知道这种特性是一定的.

[此贴子已经被twinhead于2002-10-3 16:36:43编辑过]