princeton 上面的一道排列组合题目

tony9721

Two couples and one single person are seated at random in a row of five chairs. What is the probability that neither of the couples sits together in adjacent chairs?
A:1/5
B:1/4
C:3/8
D:2/5
E:1/2

谢谢

lxj19820127

我算出来是1/5

分母P(5 5)=60

分子用排除法，至少有一对相邻:i.给这一对挑两个相邻的位置：C(1 4) ii.这一对排序P(2 2)  iii.剩下三个人排序P(3 3)  C(1 4)*P(2 2)*P(3 3)=48    (60-48)/60

但是我有点担心这个算法，至少一对相邻里还有重复

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验算一下发现大错了 P(5 5)=120

至少一对相邻的算法也漏算了：我那个算法是默认C(1 4)*P(2 2)*P(3 3)再乘以挑选一对的C(1 2)的话会有正好一半的重复，所以直接把C(1 2)省掉了，其实重复的个数没有那么多，只有正好两对都坐在一起的情况是重复的，所以应该用96减去两对都在一起的情况：P(2 2)*P(2 2)*P(3 3)=24 那么至少相邻一对的数字应该是：96-24=72

不相邻的数字是120-72=48

答案2/5

veroniquelins

分母是5!,分子把夫妻俩成一个元素和剩下的一起组合后在乘以2,因为夫妻俩可以换位置.

tony9721

谢谢两位的回答，明白了.

angelavivi

这题太搞了,我把自己得思路说下:

排除法:排除掉2对都再一起得概率跟只有一对在一起得概率

1)两对都在一起得概率.这很好算:

两对都在一起得可能数:每对都当成一个人,相当于3个人排队,记得最后要乘以4,因为每对还可以自己排序

那么可能得概率是P(3,3)*2*2/120=1/5

2)只有一对在一起得概率,这个概率太搞了.........分步进行

a.首先选出一对在一起,C(2,1)

b.他们坐下并让其他3个人坐下来.这步非常搞,大家要小心,只能穷举算,不然会露

如果前面那对坐在队尾,或者队头,那么留下得三个人只可能是一对夹一个电灯泡,再加上那队自己排序,所以队尾+队头一共有2+2=4种可能

如果那对从队头向里面移一格,那么剩下的位子是队头一个,队尾两个在一起,那么留下的三个人可能的坐法是:2*2(电灯泡先在队尾那两个位子中选一个,然后留下的两个排序)

那对再往里面移一格,跟上面的情况对称,可能性还是2*2

所以这步总共的可能性是2+2+4+4=12

c:在一起的那对排序,2种可能

所以这种情况的概率为C(2,1)*12*2/120=2/5

最后一对都不在一起的概率是1-2/5-1/5=2/5

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很佩服哪个直接算概率的同学,我实在想不清楚直接算该怎么算